Аннотация:Пользуясь уравнениями Зайберга-Виттена, Виттен ввел новый тип инвариантов гладких 4-мерных многообразий. В отличие от конформно инвариантных уравнений Янга-Миллса, уравнения Зайберга-Виттена не инвариантны относительно изменения масштаба метрики. Поэтому для того, чтобы извлечь из них инварианты, необходимо ввести в них масштабный параметр $\lambda$ и затем перейти к пределу при $\lambda\to\infty$.
Если рассмотреть такой предел в случае 4-мерных симплектических многообразий, то окажется, что решения уравнений Зайберга-Виттена будут концентрироваться вблизи некоторых псевдоголоморфных кривых, в то время как сами уравнения редуцируются к семействам статических абелевых уравнений Хиггса, заданных на нормальных плоскостях к предельным псевдоголоморфным кривым. Указанный предел называется адиабатическим, также как и редуцированные уравнения Зайберга-Виттена. Решения этих редуцированных уравнений задаются семействами статических решений абелевой модели Хиггса на комплексной плоскости с комплексным параметром $z$, пробегающим предельную псевдоголоморфную кривую. Этот параметр играет роль комплексного времени, тогда как редуцированные уравнения Зйаберга-Виитена имеют вид нелинейного $\bar\partial$-уравнения по $z$.
Оказывается, приведенная конструкция имеет нетривиальный (2+1)-мерный аналог. А именно, если рассмотреть в (2+1)-мерной абелевой модели Хиггса предел "медленного времени", то абелевы уравнения Хиггса редуцируются к адиабатическим уравнениям, решения которых задаются геодезическими на пространстве модулей статических решений абелевой модели Хиггса (называемых иначе вихрями) в метрике, определяемой функционалом кинетической энергии.
Таким образом, редуцированные уравнения Зайберга-Виттена можно рассматривать как (2+2)-мерный аналог адиабатических уравнений в абелевой модели Хиггса. Решения этих уравнений можно считать комплексными аналогами адиабатических геодезических, в то время как нелинейное
$\bar\partial$-уравнение рассматривать в качестве комплексного аналога уравнения Эйлера для таких геодезических.