Аннотация:Работа содержит обзор известных и доказательства новых результатов об условиях на множество M в банаховом пространстве X, необходимых или достаточных для того, чтобы порождаемая им аддитивная полугруппа R(M)={x_1+...+x_n: x_k ∈M, n∈N} была плотна в X. Доказывается, в частности, что если M – спрямляемая кривая в равномерно гладком действительном пространстве X, не лежащая целиком ни в каком замкнутом полупространстве, то R(M) плотна в X. Приводятся известные и новые результаты о приближении наипростейшими дробями (логарифмическими производными многочленов) в различных пространствах функций комплексного переменного. При этом некоторые из известных теорем, в частности, теорема Кореваара, выводятся из новых общих результатов о плотности полугруппы. Исследуются также приближения естественным обобщением наипростейших дробей – суммами сдвигов одной функции.