Аннотация:В настоящей статье установлен ряд новых точных необходимых и достаточных условий$C^m$-непрерывности операторов гармонического отражения функцийотносительно границ регулярных простых областей Каратеодори в $R^N$. Эти результаты опираются нановый (полученный здесь же) критерий $C^m$-непрерывности операторов Пуассона в указанных областях.В качестве следствий приводятся новые достаточные условия $C^m$-приближаемостифункций гармоническими полиномами на границах простых областей Каратеодори в $R^N$.