Аннотация:Пусть K -- поле, X = {x1, ¼, xn}, F(X) -- свободная неассоциативная алгебра над полем K с множеством X свободных образующих. А. Г. Курош доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны. Подмножество M ненулевых элементов алгебры F(X) называется примитивным, если существует такое множество Y свободных образующих алгебры F(X), F(X) = F(Y), что M Í Y (при этом |Y| = |X| = n). Ненулевой элемент u алгебры F(X) называется почти примитивным элементом, если u не является примитивным элементом алгебры F(X), но является примитивным элементом любой собственной подалгебры H алгебры F(X), содержащей элемент u. В данной работе получены критерии почти примитивности однородных элементов и построены алгоритмы проверки почти примитивности однородных элементов в свободных неассоциативных алгебрах ранга 1 и 2. Построены новые примеры почти примитивных элементов свободных неассоциативных алгебр ранга 3.