Bigraded Betti Numbers of Fullerenes

Ероховец, Н.Ю.

Автор: Ероховец Н.Ю.
Сборник: Тезисы междунадодной открытой китайско-русской конференции "Toric actions: topology, geometry and number theory"
Тезисы
Год издания: 2015
Место издания: Пекин
Первая страница: 7
Последняя страница: 7
Аннотация: Доклад основан на совместной работе с В.М.Бухштабером. В торической топологии каждому простому n-мерному многограннику P с гипергранями F_1,...,F_m сопоставляется (m + n)-мерное момент-угол многообразие Z_P с каноническим действием тора T^m=(S^1)^m. Это даёт возможность изучать комбинаторику многогранников при помощи алгебраической топологии момент-угол многообразий и наоборот. Определим мультиградуированное кольцо с mdeg(x)=(−i, 2ω), i∈Z>0, ω ⊂ [m] как R*(P) = Λ[u_1, . . . , u_m] ⊗ Z[v_1, . . . , v_m]/(u_iv_i, v_j^2, v_{i_1}...v_{i_k}:F_{i_1} ∩···∩F_{i_k}=∅), mdeg u_i = (−1, 2{i}), mdeg v_i = (0, 2{i}), du_i = v_i, dv_i = 0. Теорема. [Bu-Pa] Имеется изоморфизм колец H[R*(P)]=H*(Z_P, Z). Пусть P_ω -- объединение гиперганей F_i с i∈ω, где ω ⊂ [m] -- подмножество. Известно, что β^{−i,2ω} -- ранг группы приведённых когомологий H^{|ω|−i−1}(P_ω, Z). Положим β^{−i,2j} -- сумма по |ω|=j чисел β^{−i,2ω}. Из мултиградуированной двойственности Пуанкаре следует, что β^{−i,2ω} = β^{−(m−n−i),2([m]\ω)}. Для трёхмерного многогранника P, отличного от симплекса ∆^3, ненулевыми числами Бетти могут быть только β^{0,2∅}=β^{−(m−3),2[m]}=1, β^{−i,2ω}=rk H^0(P_ω, Z)-1=β^{−(m−3−i),2([m]\ω)} = rk H^1(P[m]\ω, Z), |ω|=i+1=2,...,m−3. Для |ω|=i+1 число β^{−i,2ω}+1 равно числу связных компонент множества P_ω⊂P. Положим h=m−3. Тогда (1−t^2)^h(1+ht^2+ht^4+t^6)= 1−β^{−1,4 t_4+сумма по j от 3 до h выражений (−1)^{j−1}(β^{−(j−1),2j}−β^{−(j−2),2j})t^{2j}+(−1)^{h−1}β^{−(h−1),2(h+1)}t^{2(h+1)}+(−1)^ht^{2(h+3)}. Пусть P -- простой выпуклый 3-многогранник. k-поясом называется циклическая последовательность(F_{i_1},...,F_{i_k}) гипеграней такая, что F_{i_1}∩···∩F_{i_r} непусто тогда и только тогда, когда {i_1,...,i_r}∈{{1,2},...,{k−1,k},{k,1}}. Фулереном (см. [DeSS13]) называется простой выпуклый 3-многогранник, у которого все двумерные грани являются пятиугольниками или шестиугольниками. Каждый фуллерен имеет ровно p_5=12 пятиугольников и любое число p_6, кроме единицы, шестиугольников. Теорема 1. У фуллерена нет 3-поясов [Bu-Er]. Следствие 1. Имеем β^{−1,4}=(9+p_6)(8+p_6)/2, β^{−1,6}=0, и β^{−2,6}=(6+p_6)(8+p_6)(10+p_6)/3. Теорема 2. У фуллерена нет 4-поясов. Следствие 2. Имеем β^{−2,8}(P)=0, β^{−3,8}=(4+p_6)(7+p_6)(9+p_6)(10+p_6)/8 и отображение умножения H^3(Z_P) ⊗ H^3(Z_P) → H^6(Z_P) тривиально. Теорема 3. Каждый фуллерен P имеет 12+k пять-поясов, где 12 поясов окружают пятиугольники и k поясов состоят из шестиугольников, пересекающих соседние по противоположным рёбрам. Более того, если k>0, то P состоит из двух додекаэдрических шапок и k шестиугольных 5-поясов между ними. Следствие 3. Для фуллерена P имеем β^{−3,10}=12+k,k>0. Работа была поддержана грантом Президента РФ MK-600.2014.1 и грантом РФФИ 14-01-31398-а. Литература [Bu-Er] V.M.Buchstaber, N.Erokhovets, Graph-truncations of simple polytopes, Proc. of Steklov Math Inst, MAIK, Moscow, V. 289, 2015. [Bu-Pa] V.M.Buchstaber, T.E.Panov, Toric Topology, AMS Math. Surv. and Mon. V. 204, 2015. 518 pp. [DeSS13] M.Deza, M.Dutour Sikiric, M.I.Shtogrin, Fullerenes and disk-fullerenes, Russian Math. Surveys, 68:4(2013), 665-720.
Добавил в систему: Ероховец Николай Юрьевич

	ИСТИНА	Войти в систему Регистрация
	ИСТИНА ПсковГУ
	Главная Поиск Статистика О проекте Помощь

ИСТИНА

ИСТИНА ПсковГУ

Bigraded Betti Numbers of Fullerenesтезисы доклада Электронная публикация

Прикрепленные файлы