Математические методы теории поля и квантовой статистикиНИР

Mathematical methods of field theory and quantum statistics

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
19 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа: Для анализа поведения различных веществ в окрестности критической точки предложено использовать сверхкритическую точку и точку максимума флуктуаций на сверхкритической изотерме. Эти три точки лежат в вершинах треугольника, образованного сверхкритической изотермой, линией локальных минимумов устойчивости и линией максимумов флуктуаций. В данном треугольнике, который назван сверхкритическим, флуктуации и устойчивость ведет себя таким образом, что эта часть фазовой поверхности является наиболее интересной с точки зрения осуществления различных химических реакций. Предложен новый метод изложения история возникновения и развития физики и ее методологии. Особое внимание уделено логике формирования основных физических представлений. Физика как наука представлена с точки зрения внешних и внутренних закономерностей, закономерностей индивидуального творчества ученого и целого ряда организационных проблем. Особое внимание уделено взаимосвязи физики с другими науками и главным проблемам физической науки. Исследования по истории и методологии физики охватывают огромный материал. Предлагаемое деление позволяет систематизировать его таким образом, что он будет однородным. Такое построение позволяет более полно удовлетворить потребности различных групп читателей как систематически изучающих историю и методологию физики, а также науки в целом, так и интересующихся этими проблемами. На основе анализа фазовых портретов, полученных для системы дифференциальных уравнений для ренормализационной группы математически строго показано, что в системе, описываемой гамильтонианом, учитывающим спин-фононное взаимодействие и спиновые флуктуации обменной природы, существует возможность фазового перехода второго рода в фазу сосуществования сверхпроводимости и антиферромагнитного упорядочения. Получены новые результаты для фазовых портретов системы уравнений для амплитуд волн спиновой плотности и температуры. Показано, что эффективное обменное взаимодействие уже не определяется только парными корреляциями, а формируется более сложным образом. Таким образом, возникает так называемое четырехчастичное взаимодействие, при котором электроны взаимодействуют как внутри ячеек, так и между ячейками. Необходимо подчеркнуть, что на важность многочастичных, в частности четырехчастичных взаимодействий, в магнитных системах указывал в своих основополагающих работах и в последующих обобщающих исследованиях Н.Н. Боголюбов. Им было показано, что представление о коллективных электронных возбуждениях как куперовских парах является концептуально важным первым приближением, но оно не может быть абсолютизировано, и, вообще говоря, мы имеем дело с коллективными возбуждениями всего электронного конденсата как с целостной системой. Предложен новый механизм резонансного взаимодействия фононов со спиновыми флуктуациями обменной природы, учет которого приводит к усилению электрон-фононного взаимодействия обменным взаимодействием в системе электронных спинов. Такие флуктуации создают спектр квазичастиц, связывающих электроны в синглетные пары. Поучена формула одномодовой факторизации многомодового сжатия в виде произведения коммутирующих одномодовых сжатий, использующая конструкцию Такаги факторизации симметричных матриц. Уточнено выражение для нормально упорядоченной факторизации унитарного оператора обобщенного многомодового сжатия и введено понятие индекса нормальной формы сжатия. Найден новый класс многомодовых сжатий, допускающих диагонализацию прилюбом числе мод. Описана связь асимптотических решений уравнений Навье - Стокса с топологическими инвариантами бездивергентных векторных полей. Построены асимптотические решения уравнений Навье–Стокса, описывающие периодические системы локализованных вихрей. Такие решения связаны c топологическими инвариантами бездивергентных векторных полей на двумерном цилиндре или торе, а также с инвариантами Фоменко лиувиллевых слоений. Уравнения, описывающие эволюцию системы вихрей, задаются на графе – множестве траекторий бездивергентного поля или множестве лиувиллевых торов. Изучена парастатистика, не различающая объективно различимые объекты. Она описывает кластеры в надкритическом состоянии. Определена связь мезоскопической физики кластеров и макроскопической термодинамики надкритических изотерм. Строится надкритическая картина изохор и изотерм при условии, что известны температура Бойля, плотность Бойля и критическая точка. Математически обоснована двухфлюидная модель надкритической термодинамики. Для “кластерной губки” это приводит к новым соотношениям, отличным от соотношений известной статистики Джентиля. Вычислена температура Френкеля перехода жесткой жидкости в мягкую.
20 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа: Разработана новая интерпретация модели Ван-дер-Ваальса. На диаграмме Хоугена–Ватсона выделяена область, где смешиваемость газов может происходить с максимальной скоростью. Описано новое распределение, определяется понятие нового идеального газа и объясняются инварианты изотерм. В подкритической области, в отличие от суперкритической, в которой изотермы идеально совпадают с изотермами модели Ван-дер-Ваальса, введено дополнительное условие достижения максимума энтропии Хартли на спинодали. Для определения параметров распределения и изотерм используется уравнение спинодали. Получено точное решение задачи пространственного заряда для однородно заряженного шара, движущегося во внешнем постоянном однородном электрическом поле. Результаты могут быть использованы при численном моделировании эффекта пространственного заряда реальных пучков в качестве тестов и оценки точности численных методов, используемых при решении задачи пространственного заряда. Получено точное решение задачи о необратимой квантовой эволюции в представлении вторичного квантования с квадратичными многомодовыми взаимодействиями. Построены алгоритмы ортогонализации базисов многомодовых сжатых состояний.
21 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа: Результаты выполнения этапа
22 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа: Построена математическая PSI-модель, позволяющая описывать некоторый класс микро- и макросистем, и основанная на механике сплошных сред и квантовой механике. Предложен подход единого рассмотрения классической и квантовой механики с позиции эффектов теории функций комплексной переменной. Получено новое модифицированное уравнение Власова для диссипативных систем, например, таких как плазма с излучением. Исследована нелинейная краевая задача магнитостатики. Получено уравнение Карнахана-Старлинга для системы твердых сфер на основе использования метода Эйлера ускоренной сходимости рядов. Дана классификация методов ускоренной сходимости, используемых в статистической физике. Исследован фазовый переход в веществе с антиферромагнитными и сегнетоэлектрическими свойствами в сильном магнитном поле. Построен формализм сверхпроводимости для керамических высокотемпературных проводников. Предложена процедура перенормировки энергии Казимира, которая делает неявными те шаги, которые используются в стандартной процедуре перенормировки. Изучались уравнения Янга-Бакстера, симметричные относительно действия орто-симплектических супералгебр Ли. В рамках двух-спинорного формализма построены спин-вектора поляризации и получены условия, которые фиксируют соответствующие матрицы плотности.
23 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа: В рамках единой математической модели предложена новая формулировка квантовой механики - квантовой механики высших кинематических величин. В отличие от известных формулировок квантовой механики в новой формулировке волновая функция имеет не только координатное или импульсное представление, но и представления через ускорение и ускорения высших порядков. Представления волновой функции в терминах кинематических величин высших порядков позволяют рассматривать классические и квантовые диссипативные системы, используя единый математический аппарат. Новая формулировка построена не феноменологически, а из первых принципов и в частном случае содержит формулировку квантовой механики «волны-пилота» де`Бройля-Бома. Новая формулировка основана на цепочке уравнений Власова. Такой подход позволяет получить естественную связь между классическими и квантовыми системами. Найдены точные решения уравнения Шрёдингера, исходя из уравнения непрерывности. Используя нелинейное преобразование Лежандра, уравнение непрерывности преобразуется в линейное уравнение. Найдены частные решения такого линейного уравнения, и к ним применено обратное преобразование Лежандра с последующим построением решений уравнения Шрёдингера. Рассмотрены примеры классических и квантовых систем. Показано, что некоторые распределения в аналитической теории чисел совпадают с распределением Бозе-Эйнштейна. Переход бозонной ветви разложения целого числа (с повторяющимися слагаемыми) в фермионную ветвь (без повторяющихся слагаемых) подробно описан вблизи небольшого значения активности. Аналитические формулы для энергии перехода бозе-газа в ферми-газ получены в трехмерном и девятимерном случае (двухатомная молекула). Рассчитан радиус "скачка" бозе-газа при переходе к ферми-газу. Связь построенных понятий с термодинамикой описывается на основе полученных экспериментальных значений характеристик газа на критических линиях. Предложен алгоритм поиска точных решений нелинейного уравнения в частных производных дивергентного типа, которое входит в постановку задачи магнитостатики, гидро-газодинамики, квантовой механики (стационарное уравнение Шрёдингера). Рассмотрены свойства гладкости решения в области с угловой точкой (кусочно-гладкая граница). На основе нового класса специальных функций были получены решения с неограниченными производными в окрестности угловой точки. Рассмотрен набор моделей для детектора SPD ускорительного комплекса NICA. Произведена оптимизация геометрической структуры детектора с учётом вклада магнитных элементов детектора, а также произведено сравнение с детектором CLEO II. Получена верхняя оценка роста магнитного поля, и предложен метод сгущения конечно-разностной сетки в окрестности угловой точки в 3-х мерном случае. Произведен расчёт модели магнитной системы SPD NICA с использованием предложенного в работах метода. Исследована возможность возникновения сверхтекучести в таких системах, как ядерная материя, которая имеет место в тяжелых ядрах с большим атомным числом и зарядовым числом, а также возможность возникновения спиновых волн в ядерной материи и их возможное влияние на взаимодействие квазичастиц в сверхтекучем состоянии. Впервые найдена и построена зависимость эффективного взаимодействия нуклонов. Можно заметить, что потенциал обменного взаимодействия через спиновые волны в данном случае превосходит потенциал взаимодействия нуклонов через мезоны. Предложена процедура перенормировки энергии Казимира, которая делает неявными те шаги, которые используются в стандартной процедуре перенормировки - регуляризацию, вычитание и снятие регуляризации. Предложенная процедура основывается на вычислении некоторого набора сходящихся сумм, каждая из которых связана с исходной расходящейся суммой для неперенормированной энергии Казимира. Далее строится система линейных уравнений, которая связывает этот набор сходящихся сумм с перенормированной энергией Казимира. Искомая перенормированная энергия Казимира получается в результате решения этой системы уравнений. При этом как вычисление сходящихся сумм, так и последующее решение системы линейных уравнений выполняется в пределах некоторой (вообще говоря, произвольной) заказанной точности, так что полученный ответ также является приближенным. Предложенная процедура оказывается, во-первых, более вычислительно эффективной, чем стандартная, во-вторых, применима не только для задач, где можно выписать трансцендентное уравнение для спектра, но и для задач, где спектр известен только численно. Получены свободная энергия и уравнение состояния для однородной фазы систем двумерных твердых сфер, которые эффективны как для стабильных, так и для метастабильных фаз. Для этого вначале вириальный ряд преобразован в новый ряд, коэффициенты которого слабо отличаются друг от друга для известных в настоящее время вириальных коэффициентов. К данному ряду применен метод ускоренной сходимости Эйлера. Совершая обратное преобразование, мы получаем для сжимаемости новое уравнение, которое, как показывают расчеты, значительно точнее вириального уравнения. Полученное уравнение аналогично уравнению Карнахана-Старлинга для трехмерной системы. Но в отличие от последнего оно точно воспроизводит все известные вириальные коэффициенты. Далее данное уравнение обобщается на случай воспроизведения асимптотического поведения свободной энергии при больших плотностях. Это позволяет описать с высокой степенью точности и метастабильную область. Получены уравнения для вычисления параметров фазового перехода в системах частиц с неотрицательно определенным потенциалом взаимодействия. В основу положено параметризованное распределение Гиббса. Оно учитывает особенности неотрицательно определенного потенциала взаимодействия и приводит к соответствующей цепочке уравнений Боголюбова. При данном подходе получается удобный способ нахождения свободной энергии системы. Исследованы фазовый переход в системе твердых сфер и зависимость давления фазового перехода от температуры для аргона при больших давлениях на основе развитого метода. Рассмотрена история вхождения вероятности в физику. Исследовано соотношение статистических и динамических закономерностей. Определено влияние на этот процесс развития методов машинного эксперимента и новых взглядов на представление о макроскопичности систем. Проанализированы перспективы использования вероятности в физике. Предложена новая лагранжева модель безмассовой релятивистской частицы с непрерывным спином и развита её твисторная формулировка. В описании используются два твистора Пенроуза, на которые распространяются четыре ограничения первого класса. После первого квантования твисториальной модели мировой линии волновая функция определяется неограниченной функцией на двумерной комплексной аффинной плоскости. Найдено твисторное преобразование, которое определяет пространственно-временное поле непрерывной спиновой частицы через соответствующий твистор, который играет роль предпотенциала. Получены спин-тензорные волновые функции свободных массивных частиц с произвольным спином, удовлетворяющие уравнениям Дирака-Паули-Фирца. В рамках двуспинорного формализма построенты векторы спиновой поляризации и получены условия, которые фиксируют соответствующие матрицы плотности (операторы проекции Берендса-Фронсдаля), определяющие числители в пропагаторах полей таких частиц. Найдены явные выражения для матриц плотности частиц с целым числом (операторы проекции Берендса-Фронсдаля) и полуцелым спином. Получено обобщение проекционных операторов Берендса-Фронсдаля на случай произвольного числа пространственно-временных измерений. Рассмотрено уравнение для матрицы плотности при квантовании по парам. Получены уравнения движения системы. Установлено, что для одного из символов уравнения движения допускают представление в виде пары Лакса. Исследована проблема точно решаемых задач необратимой квантовой эволюции. Изучено применение псевдомодового метода и деформационного подхода к задачам квантовой немарковской эволюции.
24 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа: Проведены теоретические исследования, посвященные построению нового математического аппарата квантовой механики, учитывающей кинематические величины высших порядков (квантовой механики в обобщенном фазовом пространстве): ускорений и ускорений высших порядков. Предложена новая десятая формулировка квантовой механики – квантовой механики высших кинематических величин. Построена новая цепочка уравнений квантовой механики для волновых функций, зависящих не только от координаты или импульса, но и от ускорения и ускорений высших порядков. Построено новое расширение лагранжева и гамильтонова формализма на случай высших кинематических характеристик. Получены новые обобщенные уравнения движения, описывающие изменение средних кинематических величин скорости, ускорений и ускорений высших порядков. Изучен новый подход, получивший на данный момент название q-статфизика. Данный подход основывается на новых видах энтропии – энтропии Реньи и энтропии Тсаллиса. Исследованы распределения для равновесных систем в случае соразмерного с системой термостата. Проведено явное численное моделирование сверхпроводящих структур типа YBaCuO, LaSrCuO для построения модели нахождения энергетических щелей в данных структурах и, таким образом, дальнейшего объяснения высоких критических температур. Определена свободная энергия и уравнение состояния системы твердых сфер в узких цилиндрических порах на основе использования комбинированного метода ускоренной сходимости рядов. Изучено поведение флуктуаций числа частиц в сверхкритической области. Дано систематическое изложение методов ускоренной сходимости, используемых в статистической физике. Получены точные аналитические решения ряда спектральных задач квантования действия. Рассмотрены уравнения Горини-Коссаковского-Сударшана-Линдблада с квадратичными по бозонным операторам рождения и уничтожения генераторами. Исследована динамика матриц ковариаций и средних. Получены гауссовские решения уравнений. Исследованы различные подходы для численного теоретического расчета колебательно-вращательных спектров для сложных многоатомарных молекулярных систем. Дано новое твисторное описание полей безмассовых частиц с непрерывным спином в 4-х мерном пространстве-времени. Найдено новое представление алгебры Брауэра.
25 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа: В рамках квантовой механики высших кинематических величин рассмотрены квантовые системы в фазовом пространстве. Введена аппроксимация Власова-Моэля для векторного поля потока ускорений, позволяющая установить взаимосвязь между модифицированным уравнением Власова и уравнением Моэля для функции Вигнера. Для квантового гармонического осциллятора получены новые нестационарные распределения квази-плотности вероятностей, удовлетворяющие уравнению колебаний 2D мембраны в фазовой плоскости. Значения расширенной функции Вигнера равны величинам отклонения точек поверхности мембраны от положения равновесия. Положительные и отрицательные значения расширенной функции Вигнера соответствуют направлению отклонения от положения равновесия. Произведен сравнительный анализ трех вариантов построения аналогов уравнения Шрёдингера в фазовом пространстве: метод Торреса-Вега, из уравнения Власова и уравнения Моэля. Каждый подход дает свой вариант уравнения Шрёдингера в фазовом пространстве. Для каждого уравнения рассмотрены точные решения, соответствующие квантовому гармоническому осциллятору. Получены явные выражения матричных элементов для матричных элементов оператора Вейля в базисе собственных функций гармонического осциллятора. Матричные элементы выражаются через новые полиномы двух комплексных переменных. В частном случае новые полиномы переходят в многочлены Лагерра. Диагональные матричные элементы оператора Вейля являются функциями Вигнера гармонического осциллятора, которые не вносят диссипацию в квантовую систему. Недиагональные элементы содержат осцилляции, ответственные за диссипацию в квантовых системах. Используя явное представление матричных элементов оператора Вейля, получены распределения функции Вигнера в фазовом пространстве для квантовых систем с полиномиальными потенциалами. Предложены эффективные численные алгоритмы поиска функций Вигнера с высокой точностью для квантовых систем с полиномиальным потенциалом. Исследованы основные базовые модели в статистической термодинамике жидкости с точки зрения целесообразности их использования в термодинамической теории возмущений. Рассмотрена широко используемая в этой области квантовая система твердых сфер с использованием специального метода разложения, эффективность которого проверена на примере аргона и гелия 4. Проведено исследование нового формализма в статистической теории, построенного на основе параметрического семейства функционалов энтропии Реньи. Доказано соответствие между статистической энтропией Реньи и термодинамической энтропией Клаузиуса; получена, так называемая, q-формула, позволяющая значительно упростить громоздкие вычисления, сопровождающие исследования энтропии и распределения Реньи; впервые доказана теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы в классических системах со статистикой Реньи, что позволило с легкостью находить величину средней энергии в контексте рассматриваемой теории; изучено распределение Реньи для системы с модельным гамильтонианом, а также получено ограничение возможных значений соответствующего параметра q. На примере одномерной модели Изинга исследовано распределение по состояниям в случае, когда рассматриваемая система имеет размер, сравнимый с размером термостата, в котором она находится. Получено негиббсовское выражение для вероятностей состояний системы. Исследована асимптотика соответствующего распределения Реньи при q=q_min, которая носит степенной характер зависимости. Предложен способ получения распределения Реньи для классической системы с модельным гамильтонианом, частным случаем которого является гамильтониан идеального одноатомного газа, а также гамильтониан системы независимых гармонических осцилляторов; проведен прямой расчет величины средней энергии для систем с рассматриваемым модельным гамильтонианом, а также получено обобщенное выражение для дисперсии энергии таких систем; получено обобщенное распределение Максвелла по импульсам, скоростям и модулям скоростей молекул идеального газа; найдены характеристики скоростей молекул идеального газа в контексте статистики Реньи, а именно: средняя скорость, среднеквадратичная скорость, наиболее вероятная скорость, средний модуль скорости; из условий сходимости статистического интеграла и интеграла средней энергии установлены ограничения на множество допустимых значений параметра q; получена обобщенная формула Сакура — Тетроде для энтропии идеального газа; получена общая форма распределения Реньи для систем с переменным числом частиц, частным случаем которого является большое каноническое распределение Гиббса. Исследованы оценки для мер запутанности смешанных двухчастичных квантовых состояний. Получены нижние оценки на две важные меры запутанности: негативность (negativity) и квантовая согласованность (concurrence). Произведен анализ допустимого уровня шума, примешиваемого к двухчастичной системе, при котором запутанность в системе еще сохраняется. Оценка на уровень шума дана в виде неравенств на операторные нормы примешиваемого состояния. Данная оценка удобна, если известен спектральный состав шума. Сформулированы уравнения для обобщенных полей в пространстве с добавочными степенями свободы в виде коммутирующих вейлевских спиноров (твисторов), которые определяют представления 4-х мерной группы Пуанкаре, описывающие состояния с бесконечным полуцелым спином (безмассовые фермионные частицы с непрерывным спином). Используя эту формулировку был разработан БРСТ подход и выведены Лагранжианы для полей, описывающих состояния с бесконечным полуцелым спином. Найден новый класс представлений алгебры Брауэра, которая централизует действие ортогональных и симплектических групп в тензорных пространствах. Эти представления позволили применить технику построения примитивных ортогональных идемпотентов алгебры Брауэра к построению спиновых проекторов Берендса-Фронсдала (для случая целых спинов), отвечающих произвольным диаграммам Юнга. Получена динамика моментов для бозонных уравнений Горини - Коссаковского - Сударшана - Линдблада, возникающих в результате усреднения унитарной динамики с квадратичной по операторам рождения и уничтожения генераторам по конечным комбинациям классических пуассоновских процессов. Было показано, что такая динамика, вообще говоря, не сохраняет гауссовские решения. Поэтому были исследованы случаи, когда точные решения указанного уравнения имеют вид усреднения гауссовских решений по классическим случайным распределениям.
26 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа: 1. Исходя из первых двух уравнений, принадлежащих бесконечной цепочки уравнений Власова, произведено рассмотрение классических и квантовых систем в фазовом пространстве. Построена новая аппроксимация Власова-Моэля для среднего потока вероятностей, необходимая для обрыва бесконечной цепочки уравнений Власова, и исследованы ее свойства. Разработан новый эффективный численно-аналитический метод нахождения функции Вигнера квантовой системы с полиномиальным потенциалом. Найдена новая взаимосвязь между локализацией в фазовой плоскости отрицательных значений функции Вигнера и полюсами функции энергии квантовой системы с полиномиальным потенциалом. Получены новые явные выражения для матричных элементов оператора Вейля в базисе собственных функций гармонического осциллятора. Введена новая функция квази-плотности вероятностей − расширенная функция Вигнера, удовлетворяющая волновому уравнению, интерпретирующая положительную и отрицательную квази-вероятность как отклонение от положения равновесия колеблющейся 2D мембраны в фазовой плоскости. На основе аппроксимации Власова-Моэля предложен новый аналог уравнения Шрёдингера в фазовом пространстве. 2. Исследованы уравнения состояния для системы твердых сфер в общем квантово-механическом случае. Получено, что ячеечно-кластерное разложение эффективнее квазиклассического приближения при больших плотностях. Показано, что в калорическом уравнении состояния существенна зависимость от плотности, которая сохраняется и при высоких температурах. В общем случае закон Джоуля для системы твердых сфер не выполняется. 3. Исследованы два основных подхода к аксиоматике теории функционала энтропии; из системы аксиом Реньи получена обобщенная система аксиом Фаддеева; предложена одна их возможных физических интерпретаций операции усреднения с использованием сторонних функций типа функции Колмогорова – Нагумо; полностью пересмотрена концепция полученного ранее распределения Максвелла – Реньи, что позволило установить природу возникающих в теории ограничений на параметр q; осуществлено сопоставление ряда Тейлора для энтропии Реньи с рядом, приближением к которому служит распределение Гиббса; разработан метод расчета моментов случайных величин произвольного порядка для системы, описываемой степенным гамильтонианом произвольного числа степеней свободы; получены выражения для ковариаций модулей скоростей и кинетических энергий частиц идеального газа в контексте статистики Реньи; получены обобщенные выражения для корреляционных функций и цепочки Боголюбова; развит формализм теории графов, применяемый в статистической физике, а также математический аппарат теории функционала энтропии. 4. Изучена эволюция антиферромагнитной цепочки классических спинов в продольном магнитном поле, найдена зависимость времени релаксации от обменного взаимодействия, параметра анизотропии и коэффициента трения; исследованы спиновые цепочки с замороженным беспорядком, найдена кривая намагниченности в случае широкого равномерного распределения случайного поля; исследованы корреляции спинов в одномерных квантовых спиновых моделях. 5. Предложен новый метод получения уравнения Гросса-Питаевского с помощью цепочки квантовых кинетических уравнений Боголюбова - Борна - Грина - Кирквуда - Ивона (BBGKY). В этом смысле исследуется динамика квантовой системы, включающей бесконечное число одинаковых частиц, которые взаимодействуют через (специальный) парный потенциал в виде дельта-функции Дирака. 6. Представлен двухуровневый квантовый излучатель с нарушенной инверсионной симметрией, управляемый внешним полуклассическим монохроматическим высокочастотным электромагнитным (например, лазерным) полем и демпфируемый сжатым вакуумным резервуаром с конечной полосой пропускания. Предполагается, что источник сжатого вакуума является либо вырожденным параметрическим осциллятором (DPO), либо невырожденным параметрическим осциллятором (NDPO). Показано, что форма низкочастотного спектра флуоресценции излучателя может быть эффективно изменена путем управления степенью вырождения источника сжатого вакуума и фазой сжатия. 7. Изучены уравнения Янга-Бакстера с ортосимплектической симметрией. Построены обобщения спинорного и метаплектического R-оператора с ортогональной и симплектической симметрией на случай ортосимплектической симметрии. Найдена новая форма ортосимплектического R-оператора в виде отношения двух гамма-функций Эйлера с операторными аргументами. Также предложен новый элегантный метод вывода формулы для спинорной R-матрицы Шанкара-Виттена, который демонстрирует эквивалентность старых и новых формул для R-операторов в случае алгебры osp(n|2m). Изучены безмассовые неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре в 6-и мерном пространстве Минковского. Построены все операторы Казимира этой группы Пуанкаре и найдены их собственные значения. Для расщепленных (поляризованных) операторов Казимира (РОК) всех простых комплексных алгебр Ли в определяющем и присоединенном представлениях были построены характеристические тождества. С помощью этих тождеств для всех простых алгебр Ли были получены явные формулы для проекторов на инвариантные подпространства представления T х T в двух случаях, когда T-определяющее, и когда T-присоединенное представление. Построены безмассовые неприводимые унитарные представления бесконечного (непрерывного) спина 6-и мерной группы Пуанкаре в пространстве полей, зависящих от твисторных переменных. Найден полный набор релятивистских уравнений для двух-твисторных полей, реализованных как полностью симметричные SU(2) тензоры ранга 2s. Построено обобщение твисторного преобразования Пенроуза для 6-ти мерного пространства и показана связь с координатным представлением полей. 8. Разработаны методы построения истинно сцепленных подпространств гильбертова пространства состояний квантовой системы многих частиц, основанные на композиции двухчастичных сцепленных подпространств и квантовых каналов определенных типов. Получены нижние оценки на меры истинной сцепленности (негативность и квантовая согласованность) для многочастичных смешанных квантовых состояний, связанные с проектором на определенное истинно сцепленное подпространство. Построены примеры некоторых максимальных истинно сцепленных подпространств. 9. Обобщены на фермионный случай полученные ранее результаты по бозонным уравнениям Горини - Коссаковского - Сударшана – Линдблада, динамика моментов конечного порядка для которых замкнута. В частности, были исследованы уравнения, которые возникают при усреднении унитарной фермионной динамики с генератором квадратичным по фермионным операторам рождения и уничтожения. Кроме того, как в бозонном, так и в фермионном случае полученные ранее результаты были обобщены на случай усреднения по произвольным процессам Леви.
27 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа: 1. В рамках научно-исследовательской работы предложен метод прикладного использования третьего уравнения Власова для физических систем с электромагнитным взаимодействием. С этой целью рассматриваются различные виды аппроксимаций среднего векторного поля потока ускорений второго порядка. Третье уравнение записано для функции распределения, зависящей от координаты, скорости и ускорения. 2. Построено новое точное решение нестационарного уравнения Шрёдингера. Новое решение анализируется с позиции квантовой механики в фазовом пространстве. Получена понятная с точки зрения классической физики интерпретация нестационарных процессов перераспределения энергии в квантовой системе, волнам вероятностей, температуре квантовой системы, переходу в стационарное «замороженное состояние». 3. Проведено исследование эффекта динамического изгиба тепловыделяющего элемента (твэл), влияющего на устойчивость работы пульсирующего реактора. Обоснована математическая постановка задачи, получен ряд точных выражений, характеризующих динамику твэла и позволяющих производить эффективное численное моделирование. 4. Проведено исследование теплоемкость жидкости. Для этого используется ячеечно-кластерное разложение для свободной энергии с учетом трехчастичных кластеров включительно. Расчеты, проведенные для теплоемкости жидкого аргона, показали хорошее совпадение теоретических результатов с экспериментальными данными. Таким образом, подтверждена характерная особенность поведения теплоемкости жидкости при постоянном объеме - она убывает с ростом температуры. 5. Рассмотрен формализм статистической механики, основанной на функционале неаддитивной энтропии Тсаллиса. В случае степенного гамильтониана общего вида с произвольным числом степеней свободы на основе распределения Тсаллиса получены среднее значение энергии и обобщённое распределение Максвелла (распределение Максвелла–Тсаллиса). Рассчитаны характеристики статистических систем, описываемых распределением Максвелла–Тсаллиса. Показано, что система, описываемая данным распределением, должна иметь ненулевые корреляции между скоростями и энергиями частиц и что классическое распределение Максвелла является частным случаем предложенного обобщённого распределения. 6. Рассмотрена задача теоретического численного моделирования энергетической щели в спектре возбуждений электронов в низкотемпературных сверхпроводниках. Показано, что численные алгоритмы на основе теории функционала плотности качественно воспроизводят поведение реальных известных веществ, однако, в абсолютных значениях дают существенную ошибку, не позволяющую строить предиктивные гипотезы относительно поведения новых материалов. 7. Рассмотрена задача температурного поведения крупных органических веществ в зависимости от изотопного состава. Показано, что изотопы тяжелых элементов в составе молекул (углерод, азот и т.д.) практически не деформируют геометрию молекулы, в то время как изотопы водорода существенно влияют на температурную динамику. 8. Изучена динамика систем классических спинов. Была получена аналитическая формула для энтропии запутанного состояния граничных спинов в одномерной ХХ модели с открытыми граничными условиями. 9. Рассмотрены важные частные случаи полученных ранее результатов по усреднению унитарной динамики с квадратичными бозонными и фермионными гамильтонианами по процессам Леви. В частности, был отдельно рассмотрен случай усреднения по Винеровскому случайному процессу и по процессу Коши. В указанных случаях получен явный вид генераторов вида Горини - Коссаковского - Сударшана – Линдблада, а также явный вид динамики моментов произвольного порядка. 10. Рассмотрены пространства состояний многочастичных квантовых систем. Показано, что истинно сцепленные подпространства могут быть получены из нескольких двухчастичных подпространств путем операции объединения смежных подсистем в составные системы. Показано, что прямые суммы таких конструкций при определенных условиях также дают истинно сцепленные подпространства. Показано, что полученные результаты могут быть применены в задаче обнаружения истинной сцепленности смешанных состояний, а также в задаче построения пространств многочастичных состояний, из каждой бипартиции которых можно выделить максимальную сцепленность. 11. Проведено обобщение одночастичных физических задач на случай неравновесных взаимодействующих многочастичных систем. На примере неравновесных сложных систем частиц, взаимодействующих посредством обобщенных потенциалов Юкавы, кулона и контактных потенциалов, показано определение матрицы плотности этих систем. Результат обобщен на рассмотрение неравновесных систем, состоящих из различных типов взаимодействующих частиц с обобщенным потенциалом Юкавы. Показана возможность вывода уравнения Гросса-Питаевского из квантовой цепочки кинетических уравнений.
28 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа: 1. Произведено рассмотрение классических и квантовых систем в расширенном фазовом пространстве, учитывающем ускорения первого и второго порядка. Произведено расширение функции Вигнера на фазовое пространство высших кинематических величин. Получено новое эволюционное уравнение для функции Вигнера 4-го ранга, которое является аналогом уравнения Моэля для обычной функции Вигнера. 2. На основе дисперсионной цепочки уравнений Власова рассмотрено построение новой цепочки уравнений квантовой механики высших кинематических величин. Разобран пример решения уравнения Шрёдингера второго ранга, дающий положительную функцию плотности распределения. 3. Для квантовой системы с потенциалом в виде «квадратичной воронки» найдено точное 3D-решение уравнения Шрёдингера и построена соответствующая квази-плотности вероятностей. Показано, что правая часть уравнения Моэля в явном виде не зависит от постоянной Планка, и все члены ряда могут вносить существенный вклад. 4. Используя траекторный анализ в фазовом пространстве, показано, что на пространственном микро-масштабе существует бесконечное множество «траекторий» движения частицы, а при переходе к макро-масштабу все «траектории» стягиваются вокруг классической траектории. 5. Исследована теплоемкость кристаллов инертных газов при высоких температурах. Для этого использовалась ячеечно-кластерное разложение для свободной энергии с учетом трехчастичных кластеров включительно. В качестве основного приближения использовалось приближение самосогласованного поля. 6. Изучались уравнений состояния термодинамических систем и расчет на их основе фазовых диаграмм. Проанализированы основные аспекты данной задачи, а также ее современное состояние. Рассмотрены аналитические и геометрические представления термодинамических свойств вещества. Расчеты, проведенные для неона, аргона, криптона и ксенона показали хорошее совпадение теоретических результатов с экспериментальными данными. 7. Впервые получено обобщенное уравнение Гуггенгейма для системы твердых сфер на основе использования метода ускоренной сходимости Эйлера. Полученное выражение для сжимаемости однородной фазы системы твердых сфер описывает данные численного эксперимента в пределах их точности. 8. Была доказана обобщенная теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы в случае статистики Реньи, доказано соответствие между статистической энтропией Реньи и термодинамической энтропией Клаузиуса. Получен явный вид степенной зависимости распределения Реньи, обладающей характерной зоной «плато», который позволяет наиболее точно аппроксимировать приведенные эмпирические данные. 9. Изучены классические статистические системы, описываемые степенным гамильтонианом произвольного числа степеней свободы. Получено обобщение распределения Максвелла для частиц свободного одноатомного идеального газа. Проведено вычисление таких характеристик как дисперсия энергии, ковариации квадратов и модулей скоростей молекул идеального газа. 10. Развит формализм статистической физики, построенной на базе функционалов энтропии Тсаллиса и Шарма – Миттала. Изучены математические аспекты рассматриваемого формализма: проведен детальный анализ аксиоматики энтропии Шеннона, Реньи, Тсаллиса и Шарма—Миттала; установлено свойство дуальности между различными вариантами обобщенных распределений; предложен новый универсальный метод получения обобщенных распределений путем усреднения соответствующего ненормированного распределения Гиббса по модифицированному гамма-распределению. 11. Исследованы спектральные свойства флуоресцентногоизлучения двухуровневой квантовой системы с нарушенной инверсионной пространственной симметрией, которая может быть реализована в виде модели одноэлектронного двухуровневого атома оператор электрического дипольного момента которого имеет перманентные не равные друг другу диагональные матричные элементы. Рассмотрен случай возбуждения этой системы бихроматическим лазерным полем состоящим из высокочастотной резонансной компоненты с частотой совпадающей с частотой атомного перехода и низкочастотной компоненты, частота которой совпадает с частотой Раби высокочастотной компоненты. 12. Предложен композиционный подход к построению r-однородных подпространств гильбертова пространства многочастичных состояний гетерогенных квантовых систем. Показано, как можно построить новые сцепленные состояния с использованием кодирующих изометрий чистых кодов квантовой коррекции ошибок и максимально сцепленных состояний и подпространств. Предложен способ построения новых квантовых кодов коррекции ошибок с улучшенной дистанцией путем композиции нескольких существующих кодов с меньшей дистанцией. 13. Рассмотрены модели составных открытых квантовых систем. В данных моделях проекционными методами с помощью предела Боголюбова - ван Хова была описана субдинамику одной из подсистем. Получено термодинамическое описание в моделях отрытых квантовых систем проекционными методами на основе проектора Кавасаки-Гантона выделяющего термодинамические степени свободы. В указанных случаях были получены бессвёрточные уравнения второго порядка по малой константе связи, а также их пределы после перерастяжки Боголюбова - ван Хова. 14. Рассмотрено поведение теплоемкости в расширенной модели Хаббарда в области низких температур с использованием авторского метода пяти полей Хаббарда. Проведено вычисление энергии и квадрата гамильтониана при помощи метода вторичного квантования в области между фазовыми переходами (средняя по температуре, сделано вычисление линейных коэффициентов переноса в области малых частот при помощи метода Бакуса-Гильберта решения некорректно поставленных задач. Получены теплоемкость и потенциальная энергия в области низких температур в расширенной модели Хаббарда. Предложены виды аппроксимации для гамильтониана и квадрата гамильтониана в этой области. Разработано усовершенствование известного на данный момент способа применения метода Бакуса-Гильберта для решения задачи определения коэффициента зарядовой проводимости. В 2023 году исполнителями НИР "Математические методы теории поля и квантовой статистики" опубликована 21 статья в научных рецензируемых журналах, в том числе 4 в высокорейтинговых журналах "Топ-25%". Сделано 24 доклада на международных конференциях. Издана 1 монография и 5 учебных пособий. Защищены 2 кандидатские диссертации.
29 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа:
30 1 января 2025 г.-31 декабря 2025 г. Математические методы теории поля и квантовой статистики
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".