![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ПсковГУ |
||
Проект посвящен: - изучению актуальных вопросов геометрической теории приближений и их приложений в теории функций, нелинейном анализе, теории поперечников и дифференциальных уравнениях; - исследованию структурных свойств чебышевских множеств и солнц; - исследованию колмогоровских поперечников различных функциональных классов; - вычислению поперечников конечномерных шаров относительно смешанной нормы; - получению теорем вложения; - приложениям теории обучения; - исследованию геометрических вопросов нелинейного анализа и теории функций; - вопросам аппроксимации при помощи жадных алгоритмов; - применение классического аппарата теории приближения и методов, разработанных в~рамках проекта, для решения актуальных естественнонаучных задач. Помимо фундаментальной значимости полученные результаты будут иметь приложения в вычислительной математике, нелинейном анализе и теории обучения.
На этапе 2015 г. получены следующие результаты. Для устойчивых многозначныхотображений $F:X\rightarrowY$ банахова пространства $X$, образы которых ограниченно бесконечно связные замкнутые множества в некотором банаховом пространстве $Y$, установлено существование аддитивной (мультипликативной) $\epsilon$-выборки $\phi:X\times Y\rightarrowY$ (для всех положительных $\epsilon$) на множество $F(x)$ в пространстве $Y$, непрерывной на пространстве $X\times Y$. Получены порядковые оценки энтропийных чисел оператора вложения весового класса Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона. Аналогичные результаты получены для весовых операторов суммирования и интегрирования на деревьях. Установлено, что, если изображение отличается от функции из n-мерного линейного подпространства, удовлетворяющего неравенству Никольского, на множестве меры меньшей, чем $cn^{-1}$, то жадный алгоритм выбора подмножества сходится с экспоненциальный скоростью. Получена оценка скорости сходимости жадного алгоритма выбора подмножества в случае, если изображение на множестве большой меры близко (в норме C) к функции из шара пространства Соболева $W^1_\infty$. Найдены точные оценки минимального собственного значения на различных классах потенциалов в задаче Штурма--Лиувилля на полуоси с граничным условием в нуле. Неравенство Сёге распространено на более широкий класс метрик, включающих в себя метрики $L_p$ при $p\in [0;+\infty]$. Установлено, что аппроксимативно компактное $\operatorname{m}$-связное (связное по Менгеру) подмножество банахова пространства является $\delta$-солнцем. Показано, что в широком классе конечномерных банаховых пространств $X_n$ (в частности, во всех пространствах размерности $n\le 3$) множество существования с полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем. Данный результат частично обобщает известный результат Царькова, согласно которому множество существования в~$X_n$ с полунепрерывной снизу метрической проекцией является $B$-ацикличным солнцем. Дополнительно устанавливается, что в некотором классе пространств строгое солнце(замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией) является $B$-ретрактом, т.е. обладает свойством ретракции при пересечении с замкнутыми шарами. Установлен следующий результат: Пусть $X$~-- линейное нормированное или несимметрично нормированное пространство размерности~$2$ или~$3$ и пусть $M\subset X$~-- строгое солнце. Тогда $M$\enskip $B$-стягиваемо и на него для любого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная аддитивная (мультипликативная) $\varepsilon$-выборка.
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2013 г.-31 декабря 2013 г. | Геометрические методы в теории приближений и теории функций и их приложения |
Результаты этапа: | ||
2 | 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. | Геометрические методы в теории приближений и теории функций и их приложения |
Результаты этапа: На текущем этапе исследовались актуальные задачи геометрической теории приближений и теории функций, были получены приложения к дифференциальным уравнениям в частных производных, теории жадных алгоритмов, теоремам вложения функциональных пространств, вычислению поперечников различных классов в весовом случае и задаче наилучшего приближения весового класса Соболева $N$-звенными ломаными с фиксированными и нефиксированными узлами. В частности, выполнено следующее: - Получены порядковые оценки нормы двухвесового оператора суммирования на слабо регулярном дереве с весами, являющимися функцией расстояния от корня дерева. - Получены новые теоремы вложения весовых классов Соболева в весовое пространство Лебега на области, удовлетворяющей условию Джона, с весами, являющимися функцией расстояния до $h$-множества, содержащегося в границе области. - Для весов, определяемых функциями специального вида, зависящих от расстояния до $h$-множества, получены порядковые оценки поперечников весовых классов Соболева. - Получена оценка сверху приближения функций весового класса Соболева $W^1_{\infty,\varphi}$ ломаными с фиксированным и нефиксированным набором узлов. - Найдены точные оценки минимального собственного значения на различных классах потенциалов в задаче Штурма--Лиувилля на полуоси с граничным условием в нуле. - Установлено, что с большой вероятностью случайный $K$-раз\-ре\-жен\-ный сигнал может быть точно восстановлен за $\lceil K(1+\varepsilon)\rceil$ итераций ортогонального жадного алгоритма, что показывает почти оптимальность в вероятностном смысле ортогонального жадного алгоритма в задаче точного восстановления разреженных сигналов; - Исследованы неравенства типа Лебега для слабого чебышевского жадного алгоритма, являющегося обобщением слабого ортогонального алгоритма на случай банаховых пространств. - Установлено, что ограниченно слабо компактное m-связное множество в сепарабельном банаховом пространстве монотонно линейно связно. - Получено обобщение известной теоремы Рейнуотера--Симонса о слабой сходимости последовательностей на случай сходимости последовательностей относительно ассоциированной (по Брауну) нормы. - Охарактеризованы классы множеств в линейных нормированных пространствах и пространствах с несимметричной полунормой, обладающих непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборкой для каждого $\varepsilon>0$. Получены приложения для широкого класса классических нелинейных аппроксимирующих агрегатов в пространстве непрерывных функций на связном метрическом компакте. -Решена задача равномерного приближения равномерно непрерывных функций, заданных на пространстве $L^p$, $1<p<2$, функциями, имеющими гёльдерову производную с показателем $p-1$, с получением эффективных оценок. | ||
3 | 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. | Геометрические методы в теории приближений и теории функций и их приложения |
Результаты этапа: На этапе 2015 г. получены следующие основные результаты. Для устойчивых многозначныхотображений $F:X\rightarrowY$ банахова пространства $X$, образы которых ограниченно бесконечно связные замкнутые множества в некотором банаховом пространстве $Y$, установлено существование аддитивной (мультипликативной) $\epsilon$-выборки $\phi:X\times Y\rightarrowY$ (для всех положительных $\epsilon$) на множество $F(x)$ в пространстве $Y$, непрерывной на пространстве $X\times Y$. Получены порядковые оценки энтропийных чисел оператора вложения весового класса Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона. Аналогичные результаты получены для весовых операторов суммирования и интегрирования на деревьях. Установлено, что, если изображение отличается от функции из n-мерного линейного подпространства, удовлетворяющего неравенству Никольского, на множестве меры меньшей, чем $cn^{-1}$, то жадный алгоритм выбора подмножества сходится с экспоненциальный скоростью. Получена оценка скорости сходимости жадного алгоритма выбора подмножества в случае, если изображение на множестве большой меры близко (в норме C) к функции из шара пространства Соболева $W^1_\infty$. Найдены точные оценки минимального собственного значения на различных классах потенциалов в задаче Штурма--Лиувилля на полуоси с граничным условием в нуле. Неравенство Сёге распространено на более широкий класс метрик, включающих в себя метрики $L_p$ при $p\in [0;+\infty]$. Установлено, что аппроксимативно компактное $\operatorname{m}$-связное (связное по Менгеру) подмножество банахова пространства является $\delta$-солнцем. Показано, что в широком классе конечномерных банаховых пространств $X_n$ (в частности, во всех пространствах размерности $n\le 3$) множество существования с полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем. Данный результат частично обобщает известный результат Царькова, согласно которому множество существования в~$X_n$ с полунепрерывной снизу метрической проекцией является $B$-ацикличным солнцем. Дополнительно устанавливается, что в некотором классе пространств строгое солнце(замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией) является $B$-ретрактом, т.е. обладает свойством ретракции при пересечении с замкнутыми шарами. Установлен следующий результат: Пусть $X$~-- линейное нормированное или несимметрично нормированное пространство размерности~$2$ или~$3$ и пусть $M\subset X$~-- строгое солнце. Тогда $M$\enskip $B$-стягиваемо и на него для любого $\varepsilon > 0$ существует непрерывная аддитивная (мультипликативная) $\varepsilon$-выборка. |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".
№ | Имя | Описание | Имя файла | Размер | Добавлен |
---|---|---|---|---|---|
1. | otchet-2014-Tsarkov.pdf | otchet-2014-Tsarkov.pdf | 61,7 КБ | 22 января 2015 [alexey.alimov] |