ИСТИНА

В рамках планируемого исследования предполагается решить комплекс задач, связанных с максимальными пучками Нийенхейса (включая двумерный особый случай), описанием симметрий и законов сохранения для операторных полей в регулярных и сингулярных точках, а также доказательством изоморфного поднятия сильных симметрий на кокасательное расслоение. На этой основе планируется описать новые классы интегрируемых гамильтоновых систем и метод интегрирования квазилинейных систем, связанных с тензорами Киллинга. Отдельный блок задач посвящён топологической классификации лагранжевых слоений на 4-мерных многообразиях, изучению особых слоёв и бифуркационных диаграмм для магнитных геодезических потоков на двумерных замкнутых поверхностях, исследованию пространств несжимаемых потоков с особенностями типов A‑D‑E. Завершают программу задачи по топологии интегрируемых биллиардов (круговые биллиарды с проскальзыванием, классификация столов-комплексов и биллиардные книжки с упорядоченными отражениями от софокусных эллипсов) и изучение топологических свойств аналога волчка Эйлера с гиростатом на алгебре Ли e(2,1).

Within the framework of the planned research, it is intended to solve a set of problems related to maximal Nijenhuis sheaves (including the two-dimensional special case), the description of symmetries and conservation laws for operator fields at regular and singular points, as well as the proof of an isomorphic lifting of strong symmetries to the cotangent bundle. On this basis, it is planned to describe new classes of integrable Hamiltonian systems and a method for integrating quasilinear systems associated with Killing tensors. A separate block of problems is devoted to the topological classification of Lagrangian foliations on 4-dimensional manifolds, the study of singular leaves and bifurcation diagrams for magnetic geodesic flows on two-dimensional closed surfaces, and the investigation of spaces of incompressible flows with singularities of types A‑D‑E. The program concludes with problems on the topology of integrable billiards (circular billiards with slipping, classification of table-complexes, and billiard books with ordered reflections from confocal ellipses) and the study of topological properties of an analogue of the Euler top with a gyrostat on the Lie algebra e(2,1).

1. Нийенхейсовым пучком называется подпространство (конечномерное или бесконечномерное) в линейном пространстве тензорных полей типа (1,1) на многообразии, ограничение на которое скобки Фролихера-Нийенхейса равно тождественному нулю. В частности, это пространство состоит целиком из операторов Нийенхейса. Как показывают приложения - многомерные задачи КдВ, проективно-эквивалентные метрики, интегрируемые геодезические потоки - ключевую роль в интегрируемости играют максимальные пучки Нийенхейса. Предполагается доказать максимальность пучков Нийехейса, связанных с пучком операторов, которые одновременно приводятся к постоянному виду 2. Предполагается описать аналогичные предыдущему пункту пучки в размерности два. Этот случай особый в силу отсутствия там некоторых тензорных соотношений, облегчающих работу в большей размерности. 3. Симметрией операторного поля называется операторное поле, которое коммутируют с данным поточечно и для которого симметрическая часть некоторого тензора (аналоги тензора Нийенхейса) обращается в нуль. В рамках работы предполагается описать симметрии в окрестности алгебраически устойчивой точки и в окрестности сингулярных точек (в дополнительном предположении аналитичности). В диагональном случае ответ известен, ключевой деталью здесь является появление жордановых блоков и бифуркаций 4. Законом сохранения называется замкнутая форма, которая остается замкнутой после действия на нее оператора. В рамках работы предполагается описать законы сохранения в окрестности алгебраически устойчивой точки и в окрестности сингулярных точек (в дополнительном предположении аналитичности). В диагональном случае ответ известен, ключевой деталью здесь является появление жордановых блоков и бифуркаций. При этом ключевым ингридиентом описания является описание симметрий из предыдущего пункта. 5. Операторное поле Нийенхейса естественным образом поднимается до операторного поля Нийенхейса на кокасательном расслоении. Предполагается доказать, что сильные симметрии оператора так же поднимаются до сильных симметрий операторного поля в случае gl-регулярного оператора Нийенхейса. Более того, это поднятие оказывается изоморфизмом ассоциативных алгебр. 6. Поднятие оператора и симметрий позволяет естественным образом определить семейство коммутирующих гамильтонианов, которые, вообще говоря, не являются бигамильтоновыми, и включают в себя много известных интегрируемых случаев, в частности, все метрики, чьи геодезические потоки допускают ортогональное разделение переменных. Предполагается описать новые классы интегрируемых систем такого рода, а так же найти конкретные системы, имеющие приложение в физике (теории относительности, в частности) и геометрии. 7. Поднятие оператора Нийенхейса и симметрий позволяет предложить способ интегрирования квазилинейных систем особого вида. Операторные поля этих систем - суть тензоры Киллинга для соответствующих гамильтонианов. Подобный метод интегрирования был разработан Ферапонтовы и Форди в диагональном случае, в то время как в общем случае он полагается на описание симметрий и законов сохранения. При этом полученные системы обладают необычным свойством - в частности, в окрестности точки бифуркации система может быть гиперболической, параболической и эллиптической (а так же разными смешанными типами). Этот факт, однако, не сказывается на существовании решений 8. Развитие новых методов для изучения слоений Лиувилля, их невырожденных особенностей и траекторных инвариантов интегрируемых систем: a. топологическая классификация лагранжевых слоений (и, в частности, интегрируемых гамильтоновых систем) на 4-мерных многообразиях с невырожденными особенностями и фиксированной базой слоения (бифуркационным комплексом); b. описание типов особых точек и топологии слоения Лиувилля вблизи особых слоев для магнитных геодезических потоков, инвариантных относительно вращений, на двумерных замкнутых многообразиях, когда пара функций, задающая систему, находится в общем положении; исследование структурной устойчивости вырожденных орбит в рассматриваемом классе систем; c. описание всех возможных бифуркационных диаграмм магнитного геодезического потока, инвариантного относительно вращений, на двумерном замкнутом многообразии, когда пара функций, задающая систему, произвольна и находится в общем положении; d. изучение топологии пространств несжимаемых потоков (а также гладких функций) с фиксированным количеством особенностей типов A-D-E на поверхностях, а также разбиения этого пространства на классы топологической эквивалентности, при условии что рассматриваемые несжимаемые потоки имеют “полюса” в источниках и стоках и обладают энергетической функцией; при этом не налагается условие трансверсальности Смейла; e. исследование реализуемости (с точностью до изотопии) любого набора попарно не пересекающихся овалов на плоскости в виде вещественной алгебраической кривой (т.е. множества нулей многочлена двух переменных с вещественными коэффициентами) степени 2k, где k - количество овалов. Исследование реализуемости (с точностью до топологической эквивалентности) функций Морса на двумерной сфере в виде функций специального вида, все линии уровня которых алгебраичны. Исследование симплектических инвариантов лагранжевых слоений с особенностями, возникающих в теории интегрируемых систем. Cимплектическая классификация невырожденных 2n-мерных особых слоев, удовлетворяющих условию связности, в вещественно￾аналитическом случае; 10. Исследование систем интегрируемых биллиардов и их топологических свойств: a. Круговые биллиарды с проскальзыванием на рациональные углы: определение типа гомеоморфности изоэнергетической поверхности путем вычисления топологических инвариантов в интегрируемом случае. b. Исследование гипотезы А.Т.Фоменко о биллиардах и ее локальной версии: реализация различных классов слоений и их инвариантов, моделирование ими слоений интегрируемых систем из приложений c. Вопрос о классификации и перечислении столов-комплексов с перестановками на их 1-клетках d. Изучение класса биллиардных книжек, которые реализуют (при проекции траектории частицы со стола-комплекса на плоскость) введенные В.Драговичем упорядоченные биллиардные игры, т.е. движение по плоскости частицы “с памятью”, отражающейся от софокусных эллипсов в определенном порядке. Будут вычисляться классы гомеоморфности изоэнергетических поверхностей и топологические инварианты (классы послойной гомеоморфности) самих слоений. 11. Топологические свойства аналогов и обобщений классических интегрируемых систем динамики, включая аналог волчка Эйлера с гиростатом после перехода к алгебре Ли e(2,1).

В коллективе 3 доктора, 2 кандидата физико-математических наук, 1 магистрант и 7 студентов. Возраст 10 участников не превышает 39 лет на конец 2023 г. Все члены коллектива, имеющие ученую степень, являются профессионалами в своей области, они регулярно публикуют свои результаты в ведущих математических журналах, в том числе, входящих в Q1 и Q2 по Web of Science, Scopus. Студентами-участниками коллектива ранее было опубликовано 5 работ в таких журналах.

1. Нийенхейсовым пучком называется подпространство (конечномерное или бесконечномерное) в линейном пространстве тензорных полей типа (1,1) на многообразии, ограничение на которое скобки Фролихера-Нийенхейса равно тождественному нулю. В частности, это пространство состоит целиком из операторов Нийенхейса. Как показывают приложения - многомерные задачи КдВ, проективно-эквивалентные метрики, интегрируемые геодезические потоки - ключевую роль в интегрируемости играют максимальные пучки Нийенхейса. Предполагается доказать максимальность пучков Нийехейса, связанных с пучком операторов, которые одновременно приводятся к постоянному виду 2. Предполагается описать аналогичные предыдущему пункту пучки в размерности два. Этот случай особый в силу отсутствия там некоторых тензорных соотношений, облегчающих работу в большей размерности. 3. Симметрией операторного поля называется операторное поле, которое коммутируют с данным поточечно и для которого симметрическая часть некоторого тензора (аналоги тензора Нийенхейса) обращается в нуль. В рамках работы предполагается описать симметрии в окрестности алгебраически устойчивой точки и в окрестности сингулярных точек (в дополнительном предположении аналитичности). В диагональном случае ответ известен, ключевой деталью здесь является появление жордановых блоков и бифуркаций 4. Законом сохранения называется замкнутая форма, которая остается замкнутой после действия на нее оператора. В рамках работы предполагается описать законы сохранения в окрестности алгебраически устойчивой точки и в окрестности сингулярных точек (в дополнительном предположении аналитичности). В диагональном случае ответ известен, ключевой деталью здесь является появление жордановых блоков и бифуркаций. При этом ключевым ингридиентом описания является описание симметрий из предыдущего пункта. 5. Операторное поле Нийенхейса естественным образом поднимается до операторного поля Нийенхейса на кокасательном расслоении. Предполагается доказать, что сильные симметрии оператора так же поднимаются до сильных симметрий операторного поля в случае gl-регулярного оператора Нийенхейса. Более того, это поднятие оказывается изоморфизмом ассоциативных алгебр. 6. Поднятие оператора и симметрий позволяет естественным образом определить семейство коммутирующих гамильтонианов, которые, вообще говоря, не являются бигамильтоновыми, и включают в себя много известных интегрируемых случаев, в частности, все метрики, чьи геодезические потоки допускают ортогональное разделение переменных. Предполагается описать новые классы интегрируемых систем такого рода, а так же найти конкретные системы, имеющие приложение в физике (теории относительности, в частности) и геометрии. 7. Поднятие оператора Нийенхейса и симметрий позволяет предложить способ интегрирования квазилинейных систем особого вида. Операторные поля этих систем - суть тензоры Киллинга для соответствующих гамильтонианов. Подобный метод интегрирования был разработан Ферапонтовы и Форди в диагональном случае, в то время как в общем случае он полагается на описание симметрий и законов сохранения. При этом полученные системы обладают необычным свойством - в частности, в окрестности точки бифуркации система может быть гиперболической, параболической и эллиптической (а так же разными смешанными типами). Этот факт, однако, не сказывается на существовании решений 8. Развитие новых методов для изучения слоений Лиувилля, их невырожденных особенностей и траекторных инвариантов интегрируемых систем: a. топологическая классификация лагранжевых слоений (и, в частности, интегрируемых гамильтоновых систем) на 4-мерных многообразиях с невырожденными особенностями и фиксированной базой слоения (бифуркационным комплексом); b. описание типов особых точек и топологии слоения Лиувилля вблизи особых слоев для магнитных геодезических потоков, инвариантных относительно вращений, на двумерных замкнутых многообразиях, когда пара функций, задающая систему, находится в общем положении; исследование структурной устойчивости вырожденных орбит в рассматриваемом классе систем; c. описание всех возможных бифуркационных диаграмм магнитного геодезического потока, инвариантного относительно вращений, на двумерном замкнутом многообразии, когда пара функций, задающая систему, произвольна и находится в общем положении; d. изучение топологии пространств несжимаемых потоков (а также гладких функций) с фиксированным количеством особенностей типов A-D-E на поверхностях, а также разбиения этого пространства на классы топологической эквивалентности, при условии что рассматриваемые несжимаемые потоки имеют “полюса” в источниках и стоках и обладают энергетической функцией; при этом не налагается условие трансверсальности Смейла; e. исследование реализуемости (с точностью до изотопии) любого набора попарно не пересекающихся овалов на плоскости в виде вещественной алгебраической кривой (т.е. множества нулей многочлена двух переменных с вещественными коэффициентами) степени 2k, где k - количество овалов. Исследование реализуемости (с точностью до топологической эквивалентности) функций Морса на двумерной сфере в виде функций специального вида, все линии уровня которых алгебраичны. Исследование симплектических инвариантов лагранжевых слоений с особенностями, возникающих в теории интегрируемых систем. Cимплектическая классификация невырожденных 2n-мерных особых слоев, удовлетворяющих условию связности, в вещественно￾аналитическом случае; 10. Исследование систем интегрируемых биллиардов и их топологических свойств: a. Круговые биллиарды с проскальзыванием на рациональные углы: определение типа гомеоморфности изоэнергетической поверхности путем вычисления топологических инвариантов в интегрируемом случае. b. Исследование гипотезы А.Т.Фоменко о биллиардах и ее локальной версии: реализация различных классов слоений и их инвариантов, моделирование ими слоений интегрируемых систем из приложений c. Вопрос о классификации и перечислении столов-комплексов с перестановками на их 1-клетках d. Изучение класса биллиардных книжек, которые реализуют (при проекции траектории частицы со стола-комплекса на плоскость) введенные В.Драговичем упорядоченные биллиардные игры, т.е. движение по плоскости частицы “с памятью”, отражающейся от софокусных эллипсов в определенном порядке. Будут вычисляться классы гомеоморфности изоэнергетических поверхностей и топологические инварианты (классы послойной гомеоморфности) самих слоений. 11. Топологические свойства аналогов и обобщений классических интегрируемых систем динамики, включая аналог волчка Эйлера с гиростатом после перехода к алгебре Ли e(2,1).