ИСТИНА

Изучение особенностей интегрируемых систем как конечномерных, так и бесконечномерных. Развитие топологических методов, геометрических методов качественного анализа таких систем. Разработка приложений геометрии Нийенхейса к задачам изучения таких систем

Studying the properties of both finite-dimensional and infinite-dimensional integrable systems. Developing topological and geometric methods for the qualitative analysis of such systems. Developing applications of Nijenhuis geometry to the study of these systems.

1. Особой точкой скалярного типа для операторного поля называется точка, в которой оператор пропорционален оператору умножения на скаляр. Для операторов Нийенхейса такие точки обладают замечательным свойством - на касательном пространстве к таким особенностям возникает естественная структура левосимметрической алгебры. По аналогии с векторными полями возникает задача линеаризации - найти такие левосимметрические алгебры, для которых операторное поле в окрестности скалярной точки всегда приводится к виду скалярный оператор плюс линейная часть. Такие левосиммметрические алгебры называются невырожденными. В размерности два задача полностью решена в гладком случае, однако аналитический случай оказался сложнее. Предполагается завершить классификацию левосимметрических алгебр в размерности два в аналитической категории с точки зрения невырожденности. 2. В общем случае левосимметрические алгебры находятся во взаимнооднозначном соответствии с операторами Нийенхейса, которые линейно зависят от плоских координат на аффинном пространстве. Это же эквивалентно занулению второй производной от оператора в смысле связности. Предполагается описать трехмерные левосимметрические алгебры, обладающие следующим замечательным свойством - дифференциалы коэффициентов характеристического многочлена таких алгебр образуют в точке общего положения пространство размерности один. 3. С точки зрения приложений ключевой является задача описания метрик постоянной секционной кривизны, допускающих разделение переменных. Такие условия - постоянная кривизна - характерны для простейших нетривиальных моделей, например, окрестностей ядра атома или черной дыры. При этом разделение переменных гарантирует наличие дополнительных квадратичных интегралов и возможность решить задачу в гиперэллиптических (как минимум) функциях. При этом случай общего положения, когда компоненты метрики приводятся к диагональному виду и каждая компонента существенно зависит от своей координаты, был хорошо известен. Для вырожденного случая - когда производная некоторых компонент по собственным координатам обращается в нуль - аналогичный результат многократно анонсировался, однако нигде доказан не был. Предлагается доказать теорему о классификации таких метрик и соответствующих систем координат. Ключевым инструментом классификации является оператор Нийенхейса. 4. Из теории квазилинейных уравнений в частных производных хорошо известно, что большое количество информации о системе несут симметрии и законы сохранения. В рамках работы предлагается описать симметрии и законы сохранения gl-регулярных операторов Нийенхейса 5. Хорошо известно, что геодезически согласованные с дифференциально невырожденным оператором L метрики получаются друг из друга с помощью умножения на некоторую операторно-значную функцию от L. Используя описание симметрий и законов сохранения из предыдущего пункта предполагается описать все пары геодезически согласованных метрикоператоров для gl-регулярных операторов Нийенхейса. Это, в некотором смысле, позволяет полностью проинтегрировать задачу о поиске согласованных пар. 6. В размерности два для gl-регулярной особой точки существует полная (и довольно громоздкая!) классификация нормальных форм оператора Нийенхейса в окрестности этой точки. Предполагается найти нормальные формы для пар оператор-геодезически согласованная метрика для простейших gl-регулярных операторов Нийенхейса из списка классификации. Задача включает в себе нахождения еще одного важного объекта -- регулярных законов сохранения. 7. Используя симметрии оператора Нийенхейса в gl-регулярном случае можно построить недиагонализуемые аналоги слабонелинейных интегрируемых систем. Такие системы (в диагональном случае) изучались в конце 80-90-х и были тесно связаны с задачей построения конечно-зонных решений для периодической задачи КдФ. В частности, формулы Дубровина — это как раз одна из таких квазилинейных систем, записанных в диагональной системе координат. Предполагается не только построить такие системы, но и проинтегрировать их в квадратурах. 8. В приложениях системы координат часто имеют понятное физическое значение, поэтому часто бывает удобно рассматривать задачу именно в таких, условно, осмысленных координатах. Хорошо известно, что при этом у геометрических объектов могут возникать особенности — так, например, переход от канонических координат симплектической структуры к другим может приводить к появлению особенностей. Такие особенности — предмет самостоятельного интереса и изучения. В рамках работы предлагается получить топологическую и симплектическую классификацию двумерных симплектических многообразий с типичными вырождениями симплектической структуры, а также гамильтоновых систем на таких многообразиях. 9. Одним из важнейших классов интегрируемых систем являются интегрируемые случаи движения точки в магнитном поле. Поле в этом случае реализуется как замкнутая 2-форма на самом многообразии, которая деформирует каноническую форму на кокасательном расслоении. Предполагается изучение топологии слоения Лиувилля для типичных магнитных геодезических потоков, инвариантных относительно вращений. Такая система задается плоской кривой специального вида, характеризующей риманову метрику данной поверхности вращения, а также магнитное поле, инвариантное относительно вращений. Будет полностью описана бифуркационная диаграмма системы (в терминах кривой, проективно двойственной исходной кривой), перечислены все типы особых орбит и слоев слоения Лиувилля, полностью описана топология слоения Лиувилля на 3-мерных изоэнергетических многообразиях для всех уровней энергии (в том числе близким к нулю или сколь угодно большим). 10. Описание типичных особенностей интегрируемых систем - классическая задача, восходящая к работам классиков XIX века. Предполагается получение классификации особенностей типичных интегрируемых систем с 2 и 3 степенями свободы. Будет получен полный список особенностей (т.е. особых компактных орбит), удовлетворяющих следующему условию «почти невырожденности». Особая компактная орбита интегрируемой системы с n степенями свободы называется почти невырожденной, если вблизи нее существует как минимум n-1 дополнительных первых интегралов системы, которые (возможно, после домножения на мнимую единицу) гамильтоново порождают эффективное действие (n-1)-мерного тора вблизи этой орбиты. Указанное условие является обобщением условия невырожденности, так как если таких интегралов существует n (вместо n-1), то получим в точности условие невырожденности орбиты. Помимо известных особенностей, в наш список будут входить несколько бесконечных серий новых особенностей, а именно: серии особенностей коранга 2 с эллиптическими и скручивающими резонансами (обобщающие интегрируемую бифуркацию Хопфа без скручивания), их гиперболические и фокусные аналоги, а также особенности коранга 1 со скручивающим резонансом любого порядка (включая выше 6). 11. Двойственное пространство к алгебре Ли снабжено естественной скобкой Пуассона, которая регулярно возникает в физических приложениях. Так, например, с помощью этой скобки на двойственном пространстве к алгебре Ли e(3) формулируются классические задачи движения твердого тела и их обобщения на произвольные размерности и классы алгебр. Будет рассмотрено обобщение известной задачи о построении полных биинволютивных наборов (то есть наборов, коммутирующих относительно сразу нескольких скобок пучка) полиномов на пространстве сопряженном алгебре Ли для случая сингулярных ковекторов. Предложено обобщение метода Мищенко--Фоменко сдвига аргумента на сингулярные ковекторы и получены достаточные условия того, что полученные наборы будут полными. При помощи этого метода удалось доказать возможность построения полных биинволютивных наборов многочленов для сингулярных ковекторов всех редуктивных алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями характеристики ноль. 12. Любой линейный оператор на алгебре Ли поднимается до левоинвариантного оператора на соответствующей группе G стандартным образом. При этом оператор на G является оператором Нийенхейса тогда и только тогда, когда соответствующий оператор на алгебре Ли удовлетворяет алгебраической версии оператора Нийенхейса. В рамках работы предлагается описание алгебр Ли, допускающих диагональные операторы в малой размерности. 13. Предполагается получить критерий гамильтоновости для задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц. В общем случае эта система не гамильтонова. Критерий гамильтоновости будет выражен в виде явного соотношения, зависящего от функции S, равной площади проекции тела на плоскость, ортогональную направлению потока частиц, и вектора v с началом в точке закрепления и концом в центре масс проекции тела на указанную плоскость. 14. Вычисление траекторнных инвариантов интегрируемых систем позволяет сравнивать системы и стараться моделировать одну из них, более сложную, при помощи более простой и наглядной с точностью до более тонкой, чем топологическая, эквивалентности. Нами планируется определить и вычислить траекторные инварианты ряда интегрируемых биллиардов, систем с компактными и некомпактными слоями. 15. Знаменитая теорема Якоби-Шаля утверждает, что в n-мерном пространстве касательные к геодезической на невырожденной квадрике (например, эллипсоиде), касаются также n-2 квадрик, софокусных с данной. Для пересечения квадрик также верен ее аналог. Мы планируем обобщить данный результат на случай других пространств, отличных от евклидова. 16. Будут изучаться псевдоевклидовые аналоги интегрируемых волчков механики, а также их обобщения путем добавления постоянного гиростатического момента. Для таких систем планируется исследовать возникающие в них типы особенностей и слоений Лиувилля на неособых поверхностях постоянной энергии или дополнительного интеграла 17. В рамках проекта мы планируем продолжить изучение биллиардов с проскальзыванием, класс которых был ранее введен в А.Т.Фоменко. С помощью таких биллиардов планируется реализовать различные слоения Лиувилля интегрируемых систем. 18. Планируется провести топологический анализ ряда биллиардных систем с потенциалом, включая биллиарды в софокусных параболах с гравитационным потенциалом и биллиарды на софокусных столах с полиномиальными потенциалами малых степеней. 19. Планируетс изучить свойства биллиардных книжек, реализующих различные режимы движения шара на плоскости с набором выделенных софокусных эллипсов (введенные В.Драговичем упорядоченные биллиардные игры). Для таких книжек будут изучены топологические свойства изоэнергетических многообразий и слоений Лиувилля на них.

В коллективе 4 доктора, 2 кандидата физико-математических наук, 1 магистрант, 3 аспирантов и 5 студентов. Возраст 11 участников не превышает 39 лет на конец 2023 г. Все члены коллектива, имеющие ученую степень, являются профессионалами в своей области, они регулярно публикуют свои результаты в ведущих математических журналах, в том числе, входящих в Q1 и Q2 по Web of Science, Scopus. Студентами и аспирантами - членами нашего коллектива - опубликовано более 5 работ в таких журналах.

1. Особой точкой скалярного типа для операторного поля называется точка, в которой оператор пропорционален оператору умножения на скаляр. Для операторов Нийенхейса такие точки обладают замечательным свойством - на касательном пространстве к таким особенностям возникает естественная структура левосимметрической алгебры. По аналогии с векторными полями возникает задача линеаризации - найти такие левосимметрические алгебры, для которых операторное поле в окрестности скалярной точки всегда приводится к виду скалярный оператор плюс линейная часть. Такие левосиммметрические алгебры называются невырожденными. В размерности два задача полностью решена в гладком случае, однако аналитический случай оказался сложнее. Предполагается завершить классификацию левосимметрических алгебр в размерности два в аналитической категории с точки зрения невырожденности. 2. В общем случае левосимметрические алгебры находятся во взаимнооднозначном соответствии с операторами Нийенхейса, которые линейно зависят от плоских координат на аффинном пространстве. Это же эквивалентно занулению второй производной от оператора в смысле связности. Предполагается описать трехмерные левосимметрические алгебры, обладающие следующим замечательным свойством - дифференциалы коэффициентов характеристического многочлена таких алгебр образуют в точке общего положения пространство размерности один. 3. С точки зрения приложений ключевой является задача описания метрик постоянной секционной кривизны, допускающих разделение переменных. Такие условия - постоянная кривизна - характерны для простейших нетривиальных моделей, например, окрестностей ядра атома или черной дыры. При этом разделение переменных гарантирует наличие дополнительных квадратичных интегралов и возможность решить задачу в гиперэллиптических (как минимум) функциях. При этом случай общего положения, когда компоненты метрики приводятся к диагональному виду и каждая компонента существенно зависит от своей координаты, был хорошо известен. Для вырожденного случая - когда производная некоторых компонент по собственным координатам обращается в нуль - аналогичный результат многократно анонсировался, однако нигде доказан не был. Предлагается доказать теорему о классификации таких метрик и соответствующих систем координат. Ключевым инструментом классификации является оператор Нийенхейса. 4. Из теории квазилинейных уравнений в частных производных хорошо известно, что большое количество информации о системе несут симметрии и законы сохранения. В рамках работы предлагается описать симметрии и законы сохранения gl-регулярных операторов Нийенхейса 5. Хорошо известно, что геодезически согласованные с дифференциально невырожденным оператором L метрики получаются друг из друга с помощью умножения на некоторую операторно-значную функцию от L. Используя описание симметрий и законов сохранения из предыдущего пункта предполагается описать все пары геодезически согласованных метрикоператоров для gl-регулярных операторов Нийенхейса. Это, в некотором смысле, позволяет полностью проинтегрировать задачу о поиске согласованных пар. 6. В размерности два для gl-регулярной особой точки существует полная (и довольно громоздкая!) классификация нормальных форм оператора Нийенхейса в окрестности этой точки. Предполагается найти нормальные формы для пар оператор-геодезически согласованная метрика для простейших gl-регулярных операторов Нийенхейса из списка классификации. Задача включает в себе нахождения еще одного важного объекта -- регулярных законов сохранения. 7. Используя симметрии оператора Нийенхейса в gl-регулярном случае можно построить недиагонализуемые аналоги слабонелинейных интегрируемых систем. Такие системы (в диагональном случае) изучались в конце 80-90-х и были тесно связаны с задачей построения конечно-зонных решений для периодической задачи КдФ. В частности, формулы Дубровина — это как раз одна из таких квазилинейных систем, записанных в диагональной системе координат. Предполагается не только построить такие системы, но и проинтегрировать их в квадратурах. 8. В приложениях системы координат часто имеют понятное физическое значение, поэтому часто бывает удобно рассматривать задачу именно в таких, условно, осмысленных координатах. Хорошо известно, что при этом у геометрических объектов могут возникать особенности — так, например, переход от канонических координат симплектической структуры к другим может приводить к появлению особенностей. Такие особенности — предмет самостоятельного интереса и изучения. В рамках работы предлагается получить топологическую и симплектическую классификацию двумерных симплектических многообразий с типичными вырождениями симплектической структуры, а также гамильтоновых систем на таких многообразиях. 9. Одним из важнейших классов интегрируемых систем являются интегрируемые случаи движения точки в магнитном поле. Поле в этом случае реализуется как замкнутая 2-форма на самом многообразии, которая деформирует каноническую форму на кокасательном расслоении. Предполагается изучение топологии слоения Лиувилля для типичных магнитных геодезических потоков, инвариантных относительно вращений. Такая система задается плоской кривой специального вида, характеризующей риманову метрику данной поверхности вращения, а также магнитное поле, инвариантное относительно вращений. Будет полностью описана бифуркационная диаграмма системы (в терминах кривой, проективно двойственной исходной кривой), перечислены все типы особых орбит и слоев слоения Лиувилля, полностью описана топология слоения Лиувилля на 3-мерных изоэнергетических многообразиях для всех уровней энергии (в том числе близким к нулю или сколь угодно большим). 10. Описание типичных особенностей интегрируемых систем - классическая задача, восходящая к работам классиков XIX века. Предполагается получение классификации особенностей типичных интегрируемых систем с 2 и 3 степенями свободы. Будет получен полный список особенностей (т.е. особых компактных орбит), удовлетворяющих следующему условию «почти невырожденности». Особая компактная орбита интегрируемой системы с n степенями свободы называется почти невырожденной, если вблизи нее существует как минимум n-1 дополнительных первых интегралов системы, которые (возможно, после домножения на мнимую единицу) гамильтоново порождают эффективное действие (n-1)-мерного тора вблизи этой орбиты. Указанное условие является обобщением условия невырожденности, так как если таких интегралов существует n (вместо n-1), то получим в точности условие невырожденности орбиты. Помимо известных особенностей, в наш список будут входить несколько бесконечных серий новых особенностей, а именно: серии особенностей коранга 2 с эллиптическими и скручивающими резонансами (обобщающие интегрируемую бифуркацию Хопфа без скручивания), их гиперболические и фокусные аналоги, а также особенности коранга 1 со скручивающим резонансом любого порядка (включая выше 6). 11. Двойственное пространство к алгебре Ли снабжено естественной скобкой Пуассона, которая регулярно возникает в физических приложениях. Так, например, с помощью этой скобки на двойственном пространстве к алгебре Ли e(3) формулируются классические задачи движения твердого тела и их обобщения на произвольные размерности и классы алгебр. Будет рассмотрено обобщение известной задачи о построении полных биинволютивных наборов (то есть наборов, коммутирующих относительно сразу нескольких скобок пучка) полиномов на пространстве сопряженном алгебре Ли для случая сингулярных ковекторов. Предложено обобщение метода Мищенко--Фоменко сдвига аргумента на сингулярные ковекторы и получены достаточные условия того, что полученные наборы будут полными. При помощи этого метода удалось доказать возможность построения полных биинволютивных наборов многочленов для сингулярных ковекторов всех редуктивных алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями характеристики ноль. 12. Любой линейный оператор на алгебре Ли поднимается до левоинвариантного оператора на соответствующей группе G стандартным образом. При этом оператор на G является оператором Нийенхейса тогда и только тогда, когда соответствующий оператор на алгебре Ли удовлетворяет алгебраической версии оператора Нийенхейса. В рамках работы предлагается описание алгебр Ли, допускающих диагональные операторы в малой размерности. 13. Предполагается получить критерий гамильтоновости для задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой в потоке частиц. В общем случае эта система не гамильтонова. Критерий гамильтоновости будет выражен в виде явного соотношения, зависящего от функции S, равной площади проекции тела на плоскость, ортогональную направлению потока частиц, и вектора v с началом в точке закрепления и концом в центре масс проекции тела на указанную плоскость. 14. Вычисление траекторнных инвариантов интегрируемых систем позволяет сравнивать системы и стараться моделировать одну из них, более сложную, при помощи более простой и наглядной с точностью до более тонкой, чем топологическая, эквивалентности. Нами планируется определить и вычислить траекторные инварианты ряда интегрируемых биллиардов, систем с компактными и некомпактными слоями. 15. Знаменитая теорема Якоби-Шаля утверждает, что в n-мерном пространстве касательные к геодезической на невырожденной квадрике (например, эллипсоиде), касаются также n-2 квадрик, софокусных с данной. Для пересечения квадрик также верен ее аналог. Мы планируем обобщить данный результат на случай других пространств, отличных от евклидова. 16. Будут изучаться псевдоевклидовые аналоги интегрируемых волчков механики, а также их обобщения путем добавления постоянного гиростатического момента. Для таких систем планируется исследовать возникающие в них типы особенностей и слоений Лиувилля на неособых поверхностях постоянной энергии или дополнительного интеграла 17. В рамках проекта мы планируем продолжить изучение биллиардов с проскальзыванием, класс которых был ранее введен в А.Т.Фоменко. С помощью таких биллиардов планируется реализовать различные слоения Лиувилля интегрируемых систем. 18. Планируется провести топологический анализ ряда биллиардных систем с потенциалом, включая биллиарды в софокусных параболах с гравитационным потенциалом и биллиарды на софокусных столах с полиномиальными потенциалами малых степеней. 19. Планируетс изучить свойства биллиардных книжек, реализующих различные режимы движения шара на плоскости с набором выделенных софокусных эллипсов (введенные В.Драговичем упорядоченные биллиардные игры). Для таких книжек будут изучены топологические свойства изоэнергетических многообразий и слоений Лиувилля на них.