ИСТИНА

Операторы Нийенхейса, т.е. операторные поля с нулевым кручением Нийенхейса возникают при исследовании многих динамических систем (например, как операторы рекурсии для согласованных скобок Пуассона), в задачах проективной классификации метрик, теории F-многообразий, теории сетей Веронезе, а также как операторы, связывающие метрики в бесконечномерных интегрируемых системах. Хорошо известны классические теоремы о нормальных формах операторов Нийенхейса (теорема Хаантьеса, теорема Томпсона, теорема Ньюландера-Ниренберга), но они предполагают алгебраическую регулярность оператора Нийенхейса (т.е. когда тип жордановой нормальной формы оператора в окрестности точки не меняется). Однако операторы Нийенхейса, возникающие в приложениях (в том числе, в перечисленных выше задачах), имеют особые точки, поэтому актуальной и открытой является задача изучения особенностей операторов Нийенхейса. Особенности операторов Нийенхейса мало изучены: нет полной классификации особенностей даже в малых размерностях, открыты вопросы о линеаризуемости оператора Нийенхейса вблизи особой точки данного типа, а также о топологических препятствиях к существованию операторов с особенностями данного типа. При этом любые продвижения в изучении особенностей операторов Нийенхейса позволят немедленно перенести полученные результаты на конкретные приложения в математической физике, теории дифференциальных уравнений и интегрируемых системах.

Nijenhuis operators, i.e. operator fields with zero Nijenhuis torsion arise in the study of many dynamical systems (for example, as recursion operators for compatible Poisson brackets), in problems of projective classification of metrics, theory of F-manifolds, theory of Veronese webs, and also as operators connecting metrics in infinite-dimensional integrable systems. Classical theorems on the normal forms of Nijenhuis operators are well known (Haantjes theorem, Thompson theorem, Newlander-Nirenberg theorem), but they assume algebraic regularity of the Nijenhuis operator (i.e. when the type of the Jordan normal form of the operator in the neighborhood of the point does not change). However, the Nijenhuis operators that arise in applications (including the problems listed above) have special points, so the task of studying the singularities of Nijenhuis operators is relevant and open. The singularities of Nijenhuis operators are little studied: There is no complete classification of singularities even in small dimensions, questions are open about the linearizability of Nijenhuis operator near a singular point of this type, as well as about topological obstacles to the existence of operators with singularities of this type. At the same time, any advances in the study of the singularities of Nijenhuis operators will immediately transfer the results obtained to specific applications in mathematical physics, theory of differential equations and integrable systems.

Целью проекта является разработка новых методов исследования особенностей операторов Нийенхейса и их применение к решению ряда конкретных задач в этой области. В частности: 1) описание нормальных форм для согласованных пар метрика-оператор в окрестности точки, где двумерный gl-регулярный оператор Нийенхейса сопряжен жордановой клетке; 2) классификация нийенхейсовых пучков, связанных с операторами, сопряженными жорданову блоку максимальной размерности; 3) описание возможного вида операторов Нийенхейса, сопряженных жордановой клетке в теплицевой форме; 4) классификация особенностей двумерных операторов Нийенхейса в ситуации, когда определитель оператора, ограниченный на линию уровня следа, имеет ноль порядка больше трех.

Полностью решена задача описания теплицевых матриц, которые одновременно являются операторами Нийенхейса. Получена система уравнений в частных производных, которая эквивалентна занулению кручения Нийенхейса. Система является линейной системой уравнений в частных производных (исходная система на кручение Нийенхейса является квадратичной). Построенная система была полностью решена. Используя матричнозначные функции были построены все решения, то есть получено явное описание всех операторов Нийенхейса, которые в данной системе координат имеют верхнетреугольную теплицеву форму. Множество решений оказалось параметризовано одной функцией одной переменной и n - 1 функциями двух переменных. Это существенно отличается от случая диагонального оператора Нийенхейса, где множество параметров - это n функций одной переменной. Полученные формулы позволяют получить явное описание систем, в том числе для линейных начальных условий. Таким образом, строится 2n - 1-мерный пучок согласованных структур алгебр Новикова. Полученные результаты для операторов Нийенхейса были приложены для описания замен координат, сохраняющих верхнетреугольную теплицеву форму. Все такие замены параметризуются одной функцией одной переменной и n - 1 функцией двух переменных. Для построения замен предъявлен алгоритм, позволяющий строить такие замены в произвольной размерности, используя только интегрирование замкнутых форм и решение линейных систем алгебраических уравнений. Полученные формулы достаточно громоздки, но эффективно реализуются на компьютере. В рамках проекта рассмотрено обобщение известной задачи о построении полных биинволютивных наборов полиномов на пространстве сопряженном алгебре Ли для случая сингулярных ковекторов. Предложено обобщение метода Мищенко--Фоменко сдвига аргумента на сингулярные ковекторы и получены достаточные условия того, что построенные наборы будут полными. При помощи этого метода удалось доказать возможность построения полных биинволютивных наборов многочленов для сингулярных ковекторов всех редуктивных алгебр Ли. Получена классификация алгебр Ли с четырёхмерными орбитами коприсоединённого представления общего положения, представимых в виде полупрямых сумм полупростых алгебр с разрешимыми алгебрами. Для всех таких алгебр вычислены инварианты Казимира и описана топология орбит коприсоединённого представления. При помощи этой классификации для этих алгебр Ли доказана усиленная обобщённая гипотеза Мищенко–Фоменко, то есть для всех таких алгебр построены полные наборы многочленов в биинволюции. Для всех таких алгебр вычислены инварианты Жордана–Кронекера. Доказана фундаментальная теорема о расщеплении для малых когомологий. Она позволяет разлагать соответствующие пространства (локально) в прямое произведение невырожденного многообразия Нийенхейса и многообразия, у которого операторное поле вырождении (то есть имеет ядро). Для невырожденный операторов доказана теорема об изоморфизме цепного комплекса и комплекса де Рама. В основе доказательства замечательное наблюдение о существовании псевдодиффеоморфизма, который действует на соответствующих формах. Из теоремы о расщеплении и полученной теоремы вытекает лемма Пуанкаре для невырожденного оператора Нийенхейса. В случае вырожденного оператора установлена связь когомологий шара и логарифмических когомологий. В частности, показана тривиальность когомологий дифференциально-невырожденного оператора. Вычислены примеры малых когомологий Нийенхейса для ключевых для приложений примеров, например, для примера Кобаяши в размерности четыре. Получено описание максимальных нийенхейсовых пучков в размерности 2 в случае, когда эти пучки содержат симметричные матрицы. Таких пучков оказывается два и они совпадают с двухмерными аналогами пучков, полученных А.Ю.Коняевым в размерности > 2. Таким образом, этот результат завершает задачу классификации максимальных пучков, содержащих плоские подпучки, проводящиеся к постоянному виду.