ИСТИНА

Цель научно-исследовательских работы состоит в объединении глубокого математического анализа (теории аппроксимаций и численных методов) с практической алгоритмической реализацией для применения в физике, химии, материаловедении, биологии, экологии.

The department's research focuses on developing and creating new, efficient computational methods and algorithms for solving current mathematical modeling problems in physics, chemistry, materials science, and signal and data processing. A key aspect of this work is overcoming the "curse of dimensionality" and the exponential growth of computational costs when working with multidimensional data, complex integro-differential equations, and large, dense matrices. The research is interdisciplinary in nature, combining deep mathematical analysis with practical algorithmic implementation aimed at application in modern scientific and engineering calculations.

Ожидаемые результаты исследований можно сформулировать кратко следующим образом: 1. Создание специализированных численных методов (вариационных, итерационных, гибридных детерминированно-стохастических) для моделирования коагуляции и агрегации частиц. 2. Адаптивные блочные итерационные методы. Разработка новых версий Крыловских методов (таких как блочный GMRES с редукцией) для систем с множественными правыми частями. 3. Эффективные реализации методов интегральных уравнений: адаптация и параллельная программная реализация методов на основе мозаично-скелетонных (H-матрицы) и подобных аппроксимаций для сжатия плотных матриц в задачах электродинамики. Ожидаются снижение требований к памяти и времени вычислений с квадратичной/кубической до почти линейной сложности, что сделает задачи рассеяния волн решаемыми на стандартных вычислительных системах. 4. Планируется развивать схемы вариационного усвоения данных. Исследование и адаптация методов (4D-Var) для калибровки сложных математических моделей по зашумленным и разнородным данным наблюдений.

На кафедре ВТМ развиты мозаично-скелетных метод аппроксимации матриц, метод ТТ-разложений многомерных массивов (тензоров), алгоритмы выполнения основных операций с матрицами и тензорами в сжатом формате. Малоранговые матричные форматы внедрены в программные реализации численного метода интегральных уравнений для трёхмерных задач электродинамики. Развиты и реализованы методы восполнения матриц и многомерных данных по неполным измерениям с дополнительными условиями о малоранговой структуре искомых данных. Выполнено обоснование работоспособности алгоритмов в условиях шума. Сформулированы вихреразрешающие численные алгоритмы гидродинамики, которые должны стать основой новых моделей циркуляции атмосферы и океана, модели распространения вирусных инфекций, основанные на системах обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию состояния биологических систем. Разработана и используется система вариационной ассимиляции данных наблюдений за параметрами Чёрного и Балтийского морей.

1. Будут реализованы специализированные численные методы для моделирования коагуляции и агрегации частиц. 2. Будут реализованы адаптивные блочные итерационные методы на основе Крыловских подпространств и для систем с множественными правыми частями. 3. Будут предложены эффективные реализации численного решения задач математической физики с помощью метода интегральных уравнений. В частности, планируется выплонить параллельную программную реализацию методов на основе мозаично-скелетонных (H-матрицы) и подобных аппроксимаций для сжатия плотных матриц в задачах электродинамики. 4. Планируется дальнейшее исследование и адаптация методов (4D-Var) для калибровки сложных математических моделей по зашумленным и разнородным данным наблюдений. По всем задачам ожидается публикации научных статей в авторитетных научных журналах и доклады на всероссийских и междунарожных конференциях.