ИСТИНА

1. Одномерная модель самодействия классической точечной частицы 2. Динамический фазовый переход в простейшей модели цепочки молекул 3. Безопасное движение частиц по сложному графу (не закончено) 4. динамика рынков с многими агентами (не закончено)

1. В классической физике материя в виде точечных частиц и непрерывные поля связываются двумя типами уравнений: 1) поля (или силы) двигают частицы и 2) частицы порождают поля. Первые находят отражение в законе Ньютона, частным примером которого является уравнение (или сила) Лоренца. Вторые составляют уравнения Максвелла с заданными точечными зарядами и их скоростями. Проблема объединения этих двух систем уравнений в одну всегда привлекала внимание физиков, но до сих пор остается terra incognita. Возможные подходы к этой проблеме могут различаться как глобально так и множеством мелких деталей. Например, можно вводить дополнительные силы, держащие размазанные заряды внутри шариков, как в модели Абрахама. Рассматриваемая модель взаимодействия частицы с полем является нерелятивистским аналогом скалярной гравитации Г. Нордстрема [scalar]. Изучается, повидимому простейшая, модель самодействия, без введения дополнительных сил. Основной интерес рассматриваемой здесь модели не только в том что она гамильтонова, допускает строгий анализ и оказывается почти явно решаемой, но скорее в том, что энергии волны и энергия взаимодействия по отдельности не остаются ограниченными (несмотря на сохранение энергии). Оказывается, что есть ускоренное распространение энергии поля, а локальная часть энергии неограниченно убывает. 2. Для математических моделей равновесной статистической физики необходима устойчивость, то есть конечность статистической суммы в конечном объеме. Условие устойчивости дает хорошее приближение для многих явлений в газах, жидкостях и даже твердых тел. Однако, например, исследование моделей расширения или разрушения твердых тел упирается в то, что объем не фиксирован, и часто необходимо рассматривать конечное число частиц в бесконечном объеме. При реалистических взаимодействиях (когда взаимодействие исчезает на бесконечности) такая система не является устойчивой с точки зрения распределения Гиббса. При этом говорят, что система является метастабильной [Penrose]. Для конечного числа частиц необходимо тогда доказывать, что система не выходит из определенной области фазового пространства (не распадается на части). Так как эта область зависит от всех параметров модели, то при большом числе частиц удобно применять прием, который в физике называют иногда двойным скейлингом (double scaling limit), например где все параметры зависят от числа частиц. Тогда удается получать точные асимптотические оценки в таком термодинамическом пределе.