ИСТИНА

В рамках проекта планируется изучение метатеоретических свойств модальных логик с обобщенными истинностными значениями, которые могут быть получены путем наложения различных ограничений на отношение “достижимости” между “возможными мирами”. Эта методика построения различных модальных систем, которые позволяют получать формальные теории, эксплицирующие целый спектр подходов к пониманию модальности, хорошо известна в контексте исследования обычных модальных логик. Что же касается модальных логик с обобщенными истинностными значениями, то тут до сих пор неисследованным остается достаточно большое число известных в литературе ограничений на отношение “достижимости”, а также неизвестны метатеоретические отношения между этими логическими теориями и другими известными неклассическими логиками. Именно этой проблемы будут касаться ожидаемые нами результаты. В частности, мы планируем разработать методы доказательства семантической полноты и непротиворечивости модальных логик с обобщенными истинностными значениями. Другая группа ожидаемых результатов связана с исследованием метатеоретических отношений между модальными логиками с обобщенными истинностными значениями, обычными модальными логиками, интуиционистской, конструктивной и классической логиками. Одним из основных методов такого исследования является метод погружений одних теорий в другие. Хорошо известно, например, что интуиционистская логика погружается в модальную логику S4, проявляя тем самым важную роль логики S4 в контексте изучения такого понятия, как “доказуемость”. В рамках проекта мы получим результаты о погружении различных неклассических логик (возможно и модальных) в модальные логики с обобщенными истинностными значениями, а также мы проведем сравнение этих погружений с уже известными погружениями неклассических логик в обычные модальные логики. Предлагается построение таблично-истинностного натурального исчисления для первопорядковой логики, обобщающего предложенные Г. Гюверсем, И. ван дер Гиссен и Т. Хюркенсем таблично-истинностные натуральные исчисления для классической и интуиционистской логик. Планируется исследовать свойства указанных исчислений: в частности, семантическую непротиворечивость, семантическую полноту и др. Полученные исчисления обладают определённой значимостью для развития теории доказательств, позволяя по-новому взглянуть на соотношение между классической и неклассической логикой. Например, подход Г. Гюверса, И. ван дер Гиссен и Т. Хюркенса показывает принципиальную возможность построения особых систем натурального вывода по заданным таблицам истинности для интуиционистской логики, отсутствие свойства табличности которой является широко известным результатом. Таким образом, планируемое в рамках данного подхода добавление кванторов приводит к расширению выразительных возможностей построенных систем, что, в свою очередь, делает актуальным исследование проблемы нормализации выводов в построенных исчислениях.

Within the framework of the project, one plans to study metatheoretical properties of modal logics with generalized truth values which could be obtained via exposing different restrictions on the “accessibility” relation between “possible worlds”. This method of setting up different modal systems which allow one to obtain formal theories explicating the whole specter of approaches toward reading modalities. Is very well-known in the context of studying the usual modal logics. With regard to modal logics with generalized truth values, there are quite a lot of very well-known restrictions on the accessibility relation in the literature which haven’t been studied yet. Metatheoretical relations between these logical theories and other well-known nonclassical logics haven’t been studied, too. It’s this problem that the results that one expects within the project, will be related to. In particular, we plan to develop methods of proving semantical completeness and soundness of modal logics with generalized truth values. Some other group of the expected results is related to investigating metatheoretical relations between modal logics with generalized truth values, the usual modal logics, intuitionist, constructive and classical logics. One of the main methods for this investigation is the method of embedding theories into other ones. It’s textbook knowledge that intuitionist logic might be embedded into the modal logic S4 and thus it emphasizes the important role of the logic S4 in the context of studying a notion such as “provability”. Within the project, we are going to obtain the results on embedding different nonclassical logics (perhaps, modal ones) into modal logics with generalized truth values as well as to carry out a comparison of these embeddings with the well-known embeddings of nonclassical logics into the usual modal logics. One plans to set up truth table natural deduction calculi for first-order logic which generalize the ones proposed by Geuvers, Gissen and Hurkens for classical and intuitionist logics. One plans to study properties of the calculi in question: in particular, semantical soundness, completeness, etc. The obtained calculi have a certain importance for the development of proof theory by allowing one to cast a new look on relations between classical and nonclassical logics. For example, the approach by Geuvers, Gissen and Hurkens shows the principal possibility of setting up special natural deduction systems for intuitionist logic provided the truth tables whilst it’s common knowledge that intuitionist logic lacks tabularity. Hence, adding quantifiers which one plans within the project, leads to extending the expressive possibilities of the obtained systems which, in turn, makes actual the investigation of the problem of normalizing deductions in the system in question.