ИСТИНА

Расцвет комбинаторных методов за последние годы, видимо, во многом связан с цифровой цивилизацией. Связь эта – многообразна. Во-первых, она в том, что потребности вычислительной практики, начиная с середины 20-го века привели к многообразным задачам theoretical computer science – синтаксического описания языков, оценкам сложности вычислений, обработки длинных символьных строк и т.д. Во-вторых, все большее число задач, в том числе – из комбинаторной математики (а также – классической теории чисел, теории конечных групп и т.д.) поддаются решению только с использованием компьютера. В-третьих, computational thinking оказывает медленное влияние на вкусы и стили математической деятельности в самых разных областях. В последние годы получила значительное развитие комбинаторика, комбинаторные рассуждения стали иметь куда большее значение в различных разделах математики (отчасти это связано с тем, что значительная часть исследователей проходит через олимпиады, с их плюсами и, увы, минусами). Комбинаторные идеи успешно переносятся из одних разделов математики в другие, они хорошо работают при исследовании логических и алгоритмических вопросов. Проект прежде всего направлен на комбинаторные вопросы, относящиеся к копредставлениям алгебр -- исследованию образующих, соотношений и базисных элементов. Эти вопросы сопряжены с комбинаторикой слов и динамическими системами. Мы укажем на несколько взаимосвязанных направлений. 1. Проблематика, относящаяся к связям логики и алгебраической геометрии (в том числе некоммутативной) интересна и важна, но в то же время недооценена. Весьма популярны задачи о классификации алгебраических многообразий. Естественно возникает вопрос об алгоритмической разрешимости проблемы изоморфизма двух алгебраических многообразий над полем комплексных чисел. Даны два ассоциативно коммутативных кольца, заданные образующими и соотношениями. Как проверить, изоморфны ли они? Только недавно участниками Гранта была доказана алгоритмическая неразрешимость проблемы вложимости над полем нулевой характеристики. Появился оптимизм и по части положительной характеристики, отличной от двух. Это связано с решением уравнения Пелля над кольцом многочленов. Необходимую технику развил Я.Коллар https://en.wikipedia.org/wiki/János_Kollár в своей работе https://link.springer.com/article/10.1007/s10474-019-01008-2, ссылающейся на работу A. J. Kanel-Belov and A. A. Chilikov, On the algorithmic undecidability of the embeddability problem for algebraic varieties over a field of characteristic zero, Mat. Zametki, 106: 307–310 (2019). Предполагается распространить этот результат на произвольную положительную характеристику, отличную от 2. Здесь требуются дополнительные идеи - как при интерпретации целых чисел и их умножения, так и при их сравнении. В связи с этим возникают пусть небольшие, но все же осмысленные шансы и на атаку проблемы изоморфизма. Разрешимость системы уравнений в рациональных функциях означает вложение рационального многообразия. С системами уравнений связана бирациональная проблематика, которую можно обобщить и на другие классы. 2. Проблемы типа Шпехта дают важную рабочую точку зрения на магистральные направления современной алгебры: некоммутативную алгебраическую геометрию, на супер-теории и на теорию представлений. Традиционный подход связан с исследованием представлений простых объектов или около того (первичных). Проблема Шпехта относится к исследованию взаимодействия первичных объектов через радикал. Возникает довольно интересная теория, в том числе и для неассоциативных структур. Кроме того возникают вопросы, относящиеся к представлениям симметрической группы и супер-теориям. Так, благодаря построению бесконечно базируемой системы полиномов https://zbmath.org/?q=an%3A0960.16029. была понята концепция Грассмановой алгебры над полем произвольной характеристики, включая характеристику 2 а также над кольцами, в том числе "патологическими" G. Dor, A. Kanel-Belov, U. Vishne, “The minus sign in arbitrary characteristic and the Grassmann algebra over arbitrary rings”, Transactions of the American Mathematical Society, series B., 7 (2020), 227–253 https://zbmath.org/?q=an%3A1456.16019, что дает возможность построения супер-теории в этом случае. Рассмотрим кольцо $K[x_1,\dots,x_n]$ и систему вывода, состоящую из взятия линейных комбинаций и подстановок $P(x_i)\to x_i$, многочлен $P$ не зависит от $i$. Если $n=1$, то эта система конечно базируема при любом $K$, если $n\ge 2$, то она конечно базируема при $\char(K)=0$, а в положительной характеристике всегда есть контрпримеры. Доказательство весьма нетривиально. Как замечено участниками Гранта, из него следует решение проблемы Гельфанда: нетеровости действия алгебры Ли полиномиальных векторных полей обращающихся в ноль в нуле на тензорных представлениях. https://istina.msu.ru/conferences/presentations/406939645/ Некоммутативная алгебраическая геометрия и комбинаторика некоммутативных многочленов оказалась тесно связана с исследованием полиномиальных автоморфизмов, в частности с гипотезой Якобиана и связанными с нею вопросами квантования. 3. Алгоритмические и алгебро-геометрические вопросы возникают при исследовании базисов алгебр. Пусть $A$ - ассоциативная алгебра над полем $k$ с упорядоченными образующими $a_1\prec\dots\prec a_s$. Порядок на образующих индуцирует порядок на множестве слов (сперва по длине, потом лексикографически). Нормальным базисом называется множество слов, не представимых в виде линейной комбинации мЕньших. Вопросы, связанные с устройством такого базиса, чрезвычайно важны в алгебре, имеют связи с логикой и алгебраической геометрией А. Я. Белов, В. В. Борисенко, В. Н. Латышев, “Мономиальные алгебры”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 26 (2002), 35–214. Росту (complexity), включая gap type theorems, посвящена обширная литература (см., например, Bell, Jason; Zelmanov, Efim, On the growth of algebras, semigroups, and hereditary languages. Invent. Math. 224, No. 2, 683-697 (2021)). Smoktunowicz, Agata There are no graded domains with GK dimension strictly between 2 and 3. Invent. Math. 164, No. 3, 635-640 (2006). М.Громовым была представлена работа A. Kanel-Belov, I. Melnikov, I Mitrofanov, “On cogrowth function of algebras and its logarithmical gap”, Comptes Rendus - Série Mathématique., 359:3 (2021), 297-303. 4. Конечно определенные алгебраические объекты. Одной из непревзойденных вершин комбинаторного подхода является решение С. И. Адяном проблемы Бернсайда. Геометрическая интерпретация этого подхода в стиле теории малых сокращений, также с преодолением экстремальных технических трудностей, была построена А.Ю. Ольшанским и И. Рипсом. Естественно возникает вопрос об аналогах данной проблематики и подходов в случае полугрупп и колец. В.Н. Латышев обратил внимание на важность конечно определенных постановок. Открытым вопросом является существование конечно определенной бесконечной периодической группы. В то же время последнее время активно изучаются вопросы существования алгебраических объектов, заданных конечным числом определяющих соотношений. Л.Н. Шеврин и М.В. Сапир поставили проблему существования конечно определенной нильполугруппы. Построение такой полугруппы является результатом цикла работ членов Проекта И.А. Иванова-Погодаева и А.Я. Белова. При этом построении был применен новый метод построения конечно определенных объектов, связанный с рассмотрением элементов-слов как кодировок путей на специальном семействе геометрических комплексов И. А. Иванов-Погодаев, А. Я. Канель-Белов, “Конечно определенная нильполугруппа: комплексы с равномерной эллиптичностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:6 (2021).. Планируется развивать этот метод и для других алгебраических объектов, в частности для колец и групп. Данный подход к реализации подобных конструкций может быть интересен в Computer Sciencе, так как позволяет реализовывать одномерные инструкции (слова) как пути на мозаике, при этом вычисления приобретают визуализацию в виде преобразования эквивалентных путей. 5. Квантовыми аналогами теоретико-групповых конструкций служат кольцевые конструкции. Одно из центральных мест в теории групп занимает теория гиперболических групп, включающая в себя теорию групп с малыми сокращениями. Актуальной является задача построения ее кольцевого аналога (идеи на эту тему есть у И.Рипса и М.Л. Громова, частное сообщение). Имеется обширная проблематика, с этим связанная, изложенная, в частности, в Днестровской тетради. Перечислим лишь несколько наиболее актуальных проблем. Во-первых - это проблема Кете про то, будет ли сумма двух правых ниль-иделов ниль идеалом (см. Расцвет комбинаторных методов за последние годы, видимо, во многом связан с цифровой цивилизацией. Связь эта – многообразна. Во-первых, она в том, что потребности вычислительной практики, начиная с середины 20-го века привели к многообразным задачам theoretical computer science – синтаксического описания языков, оценкам сложности вычислений, обработки длинных символьных строк и т.д. Во-вторых, все большее число задач, в том числе – из комбинаторной математики (а также – классической теории чисел, теории конечных групп и т.д.) поддаются решению только с использованием компьютера. В-третьих, computational thinking оказывает медленное влияние на вкусы и стили математической деятельности в самых разных областях. В последние годы получила значительное развитие комбинаторика, комбинаторные рассуждения стали иметь куда большее значение в различных разделах математики (отчасти это связано с тем, что значительная часть исследователей проходит через олимпиады, с их плюсами и, увы, минусами). Комбинаторные идеи успешно переносятся из одних разделов математики в другие, они хорошо работают при исследовании логических и алгоритмических вопросов. Проект прежде всего направлен на комбинаторные вопросы, относящиеся к копредставлениям алгебр -- исследованию образующих, соотношений и базисных элементов. Эти вопросы сопряжены с комбинаторикой слов и динамическими системами. Мы укажем на несколько взаимосвязанных направлений.

Apparently, the flourishing of combinatorial methods in recent years is closely connected with the digital culture. This connection is manifold. Firstly, it is that the needs of computational practice, starting from the middle of the 20th century, have led to a variety of problems in theoretical computer science - syntactic description of languages, estimates for the complexity of computations, processing long character strings, etc. Secondly, an increasing number of problems, including those from combinatorial mathematics (as well as from classical number theory, theory of finite groups, etc.) can be solved only with the use of a computer. Thirdly, computational thinking has a slow influence on tastes and styles of mathematics in a wide variety of fields. In recent years, combinatorics has developed significantly, combinatorial reasoning has become much more important in various branches of mathematics (this is partly due to the fact that a significant share of researchers have Olympiads in their background, with their positive and, alas, negative traits). Combinatorial ideas are successfully transferred from one branch of mathematics to other branches; they work well in the study of logical and algorithmic issues. The project is primarily aimed at combinatorial questions related to co-presentations of algebras - the study of generators, relations and basis elements. These questions involve combinatorics of words and dynamical systems. We will point out several interrelated areas. 1. Connections between logic and algebraic geometry (including non-commutative geometry) are interesting and important, but, at the same time, the richness of this subject field is underestimated. Classification of algebraic varieties is a popular subject. A question that naturally arises is on the algorithmic decidability of the isomorphism problem for two algebraic varieties over the field of complex numbers. Given two associative commutative rings, presented by generators and relations, how to decide whether they are isomorphic? Only recently, the participants of this project proved the the algorithmic undecidability of the embeddability problem over a field of characteristic zero. This made the prospects of a finite characteristic different from 2 more optimistic. This is due to the solution of the Pell equation over the ring of polynomials. Necessary technique was developed by J. Kollar https://en.wikipedia.org/wiki/János_Kollár in his paper https://link.springer.com/article/10.1007/s10474-019-01008-2, which cites the work of A. Kanel- Belov and A. Chilikov, On the algorithmic undecidability of the embeddability problem for algebraic varieties over a field of characteristic zero, Mat. Zametki, 106: 307-310 (2019). It is planned to extend this result to an arbitrary positive characteristic other than 2. Additional ideas are required here, both in the interpretation of the integers and their multiplication, and in their comparison. In this regard, there are, albeit small, still meaningful chances of attacking the isomorphism problem. Solvability of a system of equations in rational functions means an embedding of a rational variety. Systems of equations are associated with birational problems, which can be generalized to other classes. 2. Specht type problems provide an important viewpoint on the mainstream of modern algebra: non-commutative algebraic geometry, on super-theories, and on representation theory. The traditional approach is associated with the study of representations of simple objects or almost such (primary). Specht’s problem refers to the study of the interaction of primary objects through the radical. A rather interesting theory arises, also for non-associative structures. In addition, questions arise related to representations of the symmetric group and super-theories. Thus, due to the construction of an infinitely based system of identities https://zbmath.org/?q=an%3A0960.16029, the concept of a Grassmann algebra over a field of arbitrary characteristic (including characteristic 2) over arbitrary rings has been understood. G. Dor, A. Kanel-Belov, U. Vishne, “The minus sign in arbitrary characteristic and the Grassmann algebra over arbitrary rings”, Transactions of the American Mathematical Society, series B., 7 (2020), 227–253 https://zbmath.org/?q=an%3A1456.16019. This makes it possible to construct a super-theory in this case. Consider the ring $K[x_1,\dots, x_n]$ and the inference system consisting of taking linear combinations and substitutions $P (x_i)\to x_i$, where the polynomial $P$ does not depend on $i$. If $n = 1$, then this system is finitely based for any $K$; if $n\ge 2$, then it is finitely based for $\char (K) = 0$, and there are always counterexamples in positive characteristic. The proof is rather involved. It implies a solution to Gelfand's problem: the action of the Lie algebra of polynomial vector fields vanishing at the origin on tensor representations is Noetherian. https://istina.msu.ru/conferences/presentations/406939645/ Non-commutative algebraic geometry and the combinatorics of non-commutative polynomials turned out to be closely related to the study of polynomial automorphisms, in particular, with the Jacobian conjecture and related quantization questions. 3. Algorithmic and algebraic-geometric questions arise in the study of bases of algebras. Let $A$ be an associative algebra over the field $k$ with ordered generators $a_1 \prec \dots \prec a_s$. The order on the generators induces the order on the set of words (first by length, then lexicographically). A normal basis is a set of words that cannot be represented as a linear combination of smaller ones. Questions related to the structure of such bases are extremely important in algebra, have connections with logic and algebraic geometry A.Ya. Belov, V.V. Borisenko, V.N. Latyshev, “Monomial algebras”, Itogi Nauki i Tekhniki, 26 (2002), 35-214. There is an extensive literature on complexity, including gap type theorems (see, for example, Bell, Jason; Zelmanov, Efim, On the growth of algebras, semigroups, and hereditary languages. Invent. Math. 224, No. 2, 683 -697 (2021)). Smoktunowicz, Agata There are no graded domains with GK dimension strictly between 2 and 3. Invent. Math. 164, No. 3, 635-640 (2006). M. Gromov presented the work of A. Kanel-Belov, I. Melnikov, I Mitrofanov, “On cogrowth function of algebras and its logarithmical gap”, Comptes Rendus - Série Mathématique., 359: 3 (2021), 297-303. 4. Finitely defined algebraic objects. One of the unsurpassed peaks of the combinatorial approach is Adyan's solution of the Burnside problem. A geometric interpretation of this approach in the style of the theory of small contractions, also with overcoming extreme technical difficulties, was constructed by A.Yu. Olshansky and E. Rips. The question naturally arises about analogs of these problem field and approaches in the case of semigroups and rings. V.N. Latyshev drew attention to the importance of finitely defined substitutions. An open question is the existence of a finitely defined infinite periodic group. At the same time, the questions on the existence of algebraic objects given by a finite number of defining relations have been actively studied recently. L.N. Shevrin and M.V. Sapir posed the problem of the existence of a finitely defined nilsemigroup. The construction of such a semigroup is the result of a series of papers by Project participants I.A. Ivanov-Pogodaev and A. Ya. Belov. In this construction, a new method of constructing finitely defined objects was applied, associated with the consideration of element-words as encodings of paths on a special family of geometric complexes IA Ivanov-Pogodaev, A. Ya. Kanel-Belov, “Finitely defined nilsemigroup: complexes with uniform ellipticity”, Izv. RAS. Ser. Mat., 85: 6 (2021). It is planned to develop this method for other algebraic objects, in particular, for rings and groups. This approach to the implementation of such constructions can be interesting for Computer Science, since it allows one-dimensional instructions (words) to be implemented as paths on a mosaic, while the computations acquire visualization in the form of transforming equivalent paths. 5. Ring structures are quantum analogs of group-theoretic constructions. Theory of Gromov hyperbolic groups takes a central place in group theory; this theory includes the theory of groups with small cancellations. The problem of constructing its circular analogue is on the agenda (E. Rips and M.L. Gromov have ideas on this topic, private communication). There is a wide range of problems related to this, set forth, in particular, in the “Dniester notebook”. Here are just a few of the most pressing problems. The first is the Köthe problem, which asks whether the sum of two right nil idels is a nil ideal (see https://en.wikipedia.org/wiki/Koethe_conjecture). Secondly, this is one of the problems of A.G. Kurosh - the construction of an infinite-dimensional skew field, finitely generated as a ring (the field of rational functions as a ring is obviously not finitely generated). Another problem of Kurosh seems to be the most difficult - the famous question of a finitely generated infinite-dimensional skew field all of whose elements are algebraic. In this direction, certain results have been obtained by A. Atkarskaya, A. Kanel-Belov, E. Plotkin, E. Rips, “Construction of a quotient ring of Z2_F in which a binomial 1 + w is invertible using small cancellation methods”, Contemporary Mathematics, Israel Mathematical Conference Proceedings (IMCP), 726, American Mathematical Society, 2019, 1–76, Atkarskaya A., Kanel-Belov A., Plotkin E., Rips E., Group-like Small Cancellation Theory for Rings, 2020 (Published online ), 273 pp., ArXiv: 2010.02836. 6. Combinatorial problems of algebra are closely related to the problems of combinatorics of words and dynamical systems https://istina.msu.ru/dissertations/9403301/, https://istina.msu.ru/dissertations/4687237/. A. Belov and I.V. Mitrofanov obtained a theorem in the spirit of the Vershik-Livshits theorem giving a criterion that an almost periodic superword is given by an HDOLL system (the first progress on this problem was in 1986). This allowed I.V. Mitrofanov to solve the well-known problems posed by A.A. Muchnik, Yu.L. Pritykin, A.L. Semenov, see A. Muchnik, Yu. L. Pritykin, AL Semenov, “Sequences close to periodic”, Uspekhi Mat.Nauk, 64: 5 (389) (2009), 21–96 - establish algorithmic decidability of periodicity and almost periodicity of HDOLL systems https://istina.msu.ru/dissertations/28441979/. A similar result was independently obtained by F. Durand. This raises the issue of the isomorphism problem. Consider the sequence $W$ consisting of the first digits in $2^{n^2}$: $121563 ... $. It turns out that in order to establish that the number of its subwords of length $n$ for $n >>1$ grows EXACTLY as a polynomial, it was necessary to investigate the quotient dynamics associated with a unipotent transformation of the torus https://zbmath.org/?q=an%3A1263. 37019 and its partitions. In the study of dynamical systems and various kinds of combinatorial objects, a number of questions arise related to the theory of differential equations – questions that need to be addressed by experts. For example, with the help of the moving line method, kinetic equations arise for the statistics of the distribution of parts for random partitions of the plane. Surprisingly, the quotient dynamics of dynamical systems associated with the interval exchanges have not been investigated. Apparently, the problem of the finiteness of the quotient dynamics of a given interval exchange with a fixed number of fibers and the substitutionality of the quotient dynamics of a permutation system are related to the well-known Pisot conjecture. 7. A closely related theme to combinatorics of words is symbolic dynamics. The Project continues studying the dynamics of dual (=outer) polygonal billiards introduced by Bernard Neumann and proposed by Moser as a toy model of celestial mechanics. Computer modeling has made it possible to achieve significant progress here as well. Studying outer billiards for regular n-gons, S. Tabachnikov noticed that they lead to periodic trajectories for n = 3, 4, 6 and proved that in the case n = 5, 10 there are aperiodic trajectories. For more than 20 years, there has been no further progress, with the exception of the works of R. Schwartz, as well as N. Bedaride, J. Cassaigne, Outer billiard outside regular polygons. J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 84, No. 2, 303-324 (2011), where beautiful results were obtained. Project participant Rukhovich found that almost all trajectories are periodic in the cases n = 8, 12; this relates to the effect of fractal self-similarity of regions with the same symbolic trajectories. It is planned to consider a fundamentally more complicated case n = 7. Recently F. Rukhovich and V. Timorin discovered two fundamentally different self-similarities in this case. The coefficients of these self-similarities generate a subgroup of full rank (= 2) in the group of units of the algebraic field K - the splitting field of the polynomial z^7-1 over rationals (this is the field in which all the vertices of the regular heptagon lie for an appropriate choice of the coordinate system). Apparently, it is possible to show that the set of closures of aperiodic orbits is uncountable and, as a consequence, that there is an aperiodic point whose itinerary is not a substitution sequence (in contrast to all previously known cases). In this area (dual billiards outside regular polygons) the moment has come when one can proceed from studying individual examples to constructing a general theory, and the available particular results already suggest the richness of this theory. There are also interesting number-theoretic aspects associated with various versions of generalizations of the theory of continued fractions. Computer experiments have begun, the resulting visualizations are not only a source of heuristic ideas, but also a way of clearly formulating precise statements. 8. Definability theory. Problems related to definability theory of are beautiful. For example, the relation to lie in-between is definable through the order but not vice versa. Two relations are equivalent if they are mutually definable. How many non-equivalent classes of relations are associated with linear ordering on the set of rational numbers? This question unexpectedly turns out to be connected with the theory of finite simple groups and with $k$-transitivity of actions of a finite group (which for $k> 1$ admit an explicit description, which is rather nontrivial, see https://www.turgor.ru/lktg/2021/4/ index.html). In a recent work by Semenov, which grew out of research on definability theory, mappings are described that preserve the Huntington relations derived from the order. Within the framework of the Project, it is planned to describe symbolic trajectories of the corresponding dynamical systems. The central classical result of definability theory is the Svenonius theorem, which establishes an anti-Galois isomorphism between the lattice of definability of a structure and the lattice of overgroups of automorphisms of the elements of this lattice. In the case of homogeneous structures, all known groups turned out to be finite. A.L. Semenov and S. F. Soprunov were the first to describe an infinite definability lattice - such was the lattice for the succession of integers. Research will be continued for other numerical and combinatorial structures.

1. Исследование вопросов, связанных с гипотезой Гельфанда и проблемами Шпехтового типа. 2. Исследование рядов Тейлора алгебраических функций по простому модулю в свете теоремы Кристофа о регулярности языков связанных с рядами Тейлора алгебраических функций B. Adamczewski, J. Bell, On vanishing coefficients of algebraic power series over fields of positive characteristic.Invent. Math. 187, No. 2, 343-393 (2012). https://zbmath.org/?q=an%3A1257.11027 связи теоремы Кристофа с гипотезами Вейля а также задачи о композиции функций, а также с нормальными базисами алгебр в положительной характеристике. 3. Исследование уравнений в алгебраических системах в свете задачи об алгоритмической неразрешимости проблемы вложения двух многообразий в положительной характеристике. 4. Исследование $\Ind$-схем и проблемы подъема групп полиномиальных автоморфизмов. 5. Построение кольцевых (квантовых) аналогов для геометрической теории групп, в частности, гиперболических групп, а также для конструкций связанных с построением конечно определенной бесконечной ниль-полугруппы и их квантового аналога. 6. Исследование проблемы выразимости в свете $k$-транзитивности действия конечных групп. 7. Исследование фактор-динамик, связанных с перекладыванием отрезков и HDOLL-системами. Исследование сложности последовательности первых цифр $2^{P(n)}$, связанными с этим унипотентного преобразования тора, а также многомерныхдинамических систем , Исследование статистических свойств случайных разбиений плоскости. 8. Исследование двойственного бильярда вне правильного $n$-угольника в "диком" случае при $n=7, 14, 9,15,15,18, 20, 24, 30$. Исследование апериодических неподстановочных орбит. Построение теории, объясняющей плотность периодических орбит и самоподобие. на английском языке The main objectives of this research are: 1. Investigate the issues related to Gelfand's conjecture and Specht type problems. 2. Study Taylor series of algebraic functions modulo a prime in the light of Christoph's theorem on the regularity of languages ​​associated with Taylor series of algebraic functions, B. Adamczewski; J. Bell, On vanishing coefficients of algebraic power series over fields of positive characteristic. Invent. Math. 187, No. 2, 343-393 (2012). https://zbmath.org/?q=an%3A1257.11027, the relationship of Christoph's theorem with the Weil conjectures as well as the problem of composition of functions, as well as with normal bases of algebras in finite characteristic. 3. Investigate equations in algebraic systems in the light of the problem of algorithmic undecidability of the problem of embedding two manifolds in finite characteristic. 4. Investigate $\Ind$-schemes and lifting problems for groups of polynomial automorphisms. 5. Construct ring (quantum) analogs for geometric group theory, in particular, hyperbolic groups, as well as for constructs associated with producing a finitely defined infinite nil-semigroup and their quantum analogue. 6. Investigate of the expressibility problem in the light of the $k$ -transitivity of the action of finite groups. 7. Investigate quotient dynamics associated with interval exchange transformations and HDOLL systems. Investigation of the complexity of the first digit sequence for $2^{P (n)} $ associated with a unipotent transformation of the torus, as well as multidimensional dynamical systems. Study the statistical properties of random partitions of the plane. 8. Investigate dual billiards outside the regular $n$ -gon in the "wild" cases for $n = 7, 14, 9,15,15,18, 20, 24, 30$. Investigate aperiodic non-substitutional orbits. Build a theory explaining the density of periodic orbits and self-similarity. Научная новизна исследований, обоснование достижимости решения поставленной задачи (задач) и возможности получения предполагаемых результатов на русском языке Полученные лично руководителем проекта результаты, перечисленные в разделе «Основные научные результаты руководителя проекта за период с 1 января 2012 года» и развитые для их получения методы позволяют надеяться на решение ряда перечисленных в разделе «Актуальность проблемы для данной отрасли знаний, научная значимость решения проблемы» проблем теории колец и аффинной алгебраической геометрии, или достигнуть существенного прогресса в их решении. 1. Доказана руководителем проекта локальная конечная базируемость и локальная представимость многообразий алгебр (проблема Шпехта) https://zbmath.org/?q=an:1208.16022. над произвольным ассоциативно коммутативным кольцом. Показано, что любая система тождеств от ограниченного числа переменных следует из конечной подсистемы. Исследования по проблемам Шпехтового типа дают новый взгляд на теорию представлений. Традиционный подход связан с исследованием представлений простых объектов или около того (первичных). Проблема Шпехта относится к исследованию взаимодействия первичных объектов через радикал. В серии работ была осознана возникающая теория. В работе Kanel–Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi, “Structure of Zariski-closed algebras.”, Trans. Amer. Math. Soc., 362:9 (2010), 4695–4734 http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=MR2645047 исследуется каноническое блочное представление полупростой части (блоки типа $q^s$ и бесконечные, склейка по Фробениусу) (first canonization theorem) , в работах Kanel–Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi, “Application of full quivers of representations of algebras, to polynomial identities.”, Comm. in Algebra, 39 (2011), 4536–4551 https://zbmath.org/?q=an:06016979, и Kanel–Belov A., Rowen Louis H.; Vishne, Uzi, “Full quivers of representations of algebras”, Trans. Amer. Math. Soc., 364:10 (2012), 5525–5569 , arXiv: 1109.4916 показано, что колчан в представлении можно канонизировать и описаны все эффекты, связанные с колчанами и как они отражаются на тождествах (second canonization theorem). В работе Alexei Belov-Kanel, Louis H. Rowen and Uzi Vishne, “PI-varieties associated to full quivers of representations of algebras”, Trans. Amer. Math. Soc., 365:5 (2013), 2681–2722 описаны все возможные процессы преобразования колчана при факторизации по представимому $T$-идеалу https://zbmath.org/?q=an:06185162 (Third canonization theorem). Наконец, в работе Alexei Belov-Kanel, Louis Rowen, Uzi Vishne, “Specht's problem for associative affine algebras over commutative Noetherian rings”, Trans. Amer. Math. Soc., 367:8 (2015), 5553–5596 , строится достаточно подробный перевод между свойствами тождеств и свойствами их носителей - алгебр колчанов. Как следствие этого перевода (hiking btheorem) и получается проблема Шпехта. Отдельные эффекты в теории представлений - алгебры над кольцом. Для нулевой характеристики результат распространен на достаточно широкий класс колец, близких к ассоциативным (включающий в себя альтернативный и йорданов случай) http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mt&paperid=29&option_lang=rus, 2. Руководитель проекта совместно с М.Л. Концевичем (и с другой стороны, Цучимото) разработал подход к теории $D$-модулей, гипотезе Якобиана и смежным вопросам (например, относящихся к универсальным обертывающим алгебрам конечномерных алгебр Ли), связанным с редукцией по модулю бесконечно большого простого числа и изучением скобок Пуассона на центрах получившихся образований. Благодаря квантизационному подходу удается решить ряд задач в теории колец или получить альтернативные доказательства. Накопилось достаточное количества примеров связанных с использованием квантизации. Бесконечномерный аналог групп Ли, в отличие от конечномерного случая, могут быть особыми многообразиями в каждой точке. Непосредственный подход, связанный с аппроксимацией (например ручными преобразованиями) в проблемах аффинной алгебраической геометрии обычно не работает, в частности он не работает в проблеме Якобиана. Например, у двух "изоморфных" бесконечномерных групп могут оказаться неизоморфные алгебры Ли, по крайней мере при наивном их определении. Это имеет место для группы автоморфизмов плоскости сохраняющих площадь и у группы автоморфизмов алгебры Вейля $W_1$. Руководитель проекта разработал метод, позволяющий в некоторых случаях контролировать эти явления. 3. Благодаря технике уравнений в универсальных алгебрах, разработанной в школе Б.И. Плоткина, В.Н. Ремесленникова удается исследовать алгоритмические проблемы, связанные с вложимостью алгебраических многообразий. В свете проблем алгоритмической (не)разрешимости вложимости и изоморфизма алгебраических многообразий важно рассмотреть проблематику положительной характеристики, нормальных форм алгебр. В этой связи важно получить передоказательство теоремы Кристофа и прояснить ее связь с доказательствами Делиня и Дворка рациональности дзета-функции в положительной характеристике. Кроме того, планируется работать над получением элементарного доказательства теоремы Коллара. 4. Другим основанием для получения запланированных результатов служит тематика, связанная с построением конечно определенных объектов в общей алгебре, активно пропагандировавшаяся В.Н. Латышевым. После решения проблема Шеврина-Сапира, возникают вопросы, относящиеся к проблеме Латышева о конечно определенном ненильпотентном ниль кольце. Возможно, полученные нами подходы, помогут и в случае групп, ибо путем присоединения единицы к ниль кольцу над полем положительной характеристики строится периодическая группа. Построение разного рода "алгебраических монстров" может быть интересно отнюдь не только само по себе, но прежде всего с точки зрения теоретической информатики. Проблема Шеврина--Сапира имеет значение в computer science -- буква алфавита символизирует конечный автомат, а слово -- цепочку локально взаимодействующих автоматов. Задача состоит в координации поведения системы автоматов при обратимых преобразованиях из любых начальных состояниях. Автоматный подход оказался эффективен в решении ряда задач, а здесь - наоборот, встает вопрос о применении геометрического метода и идей полугрупповой и ее "квантового аналога", к -- кольцевой конструкции (когда и если она возникнет) к теоретической информатике. Данный сюжет перекликается с идеями П. Гатча, Г.Л. Курдюмова и Л.А. Левина и о поведении систем конечных автоматов на прямой. Представляется интересным и важным применить геометрические методы, позволяющие переходить от одномерного к многомерному случаю для прояснения знаменитой теоремы П.Гатча -- примера двух случайно эволюционирующих стационарных систем клеточных автоматов на прямой с разными статистиками ( positive rates conjecture). Наше внимание сфокусировано именно на квантовых аспектах. 5. Методы, использованные при решении проблемы Шеврина-Сапира (построение бесконечной конечно определенной нильполугруппы) могут быть применены и в смежных областях. Например, использование апериодических мозаик помогает при изучении групп с условиями малых сокращений. В частности, с набором плиток для мозаики можно естественным образом связать конечно представленную группу. Свойство {\it детерминированности}, играющее ключевую роль в конструкции конечно определенной полугруппы, связано с условием С(4)-T(4) в соответствующей группе, а апериодическое замощения с помощью данного набора - с условием на негиперболичность и кривизну группы. Примечательно, что специалисты по мозаикам также пришли к этой концепции независимо. В своей монографии "Гиперболические группы" (sec. 4.7A) М.Л.Громов обсуждает вопрос, обязательно ли негиперболическая группа с неположительной кривизной должна содержать подгруппу, изоморфную $Z^2$. М.Л. Громов выражает уверенность, что можно построить компактное полугиперболическое (неположительной кривизны) пространство, в которое можно отобразить $R^2$, но, фундаментальная группа которого не содержит $Z^2$. Применение методов, упомянутых выше, позволяет осуществить построение такой группы. Таким образом, подтверждается идейная и методологическая связь разных областей математики, позволяющая получать новые конструкции и результаты. Другой областью применения указанных методов является построение конечно определенных объектах в других структурах алгебры, помимо полугрупп. Такие вопросы поставил и изучал В.Н. Латышев. В частности, естественным обобщением полугрупп являются кольца. Для решения проблемы существования конечно определенного нилькольца также можно применить технику из полугрупп. Мономы в данном случае приобретают геометрическую природу, и появляется возможность контролировать преобразование мономов через геометрическую структуру. Мы ведем работу в этом направлении. Промежуточным результатом может быть построение конечно определенного кольца, в котором существует идеал, не содержащий больших степеней мономов. В полугруппах такое построение уже сделано. Важной мотивацией в данном направлении является и то, что путем присоединения единицы к нилькольцу над полем положительной характеристики может быть построена периодическая группа, то есть кольцевой вопрос связан с конечно определенной проблемой Бернсайда для групп - одним из важнейших открытых вопросов в алгебре. Квантовыми аналогами теоретико-групповых конструкций служат кольцевые конструкции. Одно из центральных мест в теории групп занимает теория гиперболических групп, включающая в себя теорию групп с малыми сокращениями. Актуальной является задача построения ее кольцевого аналога (определенные идеи на эту тему есть у М.Л. Громова, частное сообщение). Полугрупповые конструкции существенно проще кольцевой и групповой тематики, а зачастую предшествуют ей. Основная трудность в решении проблемы Шеврина-Сапира состоит в том, что вычислительный процесс, призванный определить периодический участок с (возможно) большим периодом, с неизбежностью может начинаться в любом месте. Но тогда возникает проблема наложения процессов, которую удалось решить путем перехода к высшей размерности. На плоскости можно представить бесконечный "лист" с системой прожилок, по которым идут вычислительные процессы. Когда две прожилки встречаются, известно какая главная, а какая - второстепенная и некоторая информация о соотношении рангов. Прожилки оказываются размеченными, а эта разметка облегчает организацию вычислительных процессов. В проблеме Латышева о ниль кольце возникают "квантовые взвеси состояний", и сами определяющие соотношения разбиваются на три группы: обеспечение того, чтобы слово кодировало последовательность плиток локально располагаемых на мозаике локально геодезическим образом, соотношения перекидывания (rewriting rules), позволяющие восстанавливать вокруг пути участок мозаики, и соотношения, задающие "квантовые" машины, работающие на векторах оттенков. Сама проблема Латышева предшествует групповым вопросам, а ей предшествует решение вопросов поставленных Л.Н. Шевриным: может ли в конечно определенной бесконечной ниль полугруппе выполняться тождество $x^2=0$, а с другой стороны, могут ли индексы нильпотентности элементов расти неограниченно? Кроме того, проблеме Латышева предшествуют вопросы о контроле над нильпотентностью в кольцах, в частности, проблема Кете. 6. Проблема создания комбинаторной и геометрической теории колец приобрела большую актуальность. Ряд проблем был поставлен в Днестровской тетради. В настоящее время развиваемая техника, с одной стороны в связи с построением конечно порожденного тела, анонсированного Рипсом, с другой стороны с проблемой Кете, делает эти задачи вполне доступными. Необходимо довести анонс о конечно порожденном теле до публикации. Руководитель проекта разработал технику доказательства конечной базируемости многообразий алгебр связанную с применением леммы Артина--Рисса и связанных с ней соображений. Руководитель проекта совместно с И. Рипсом и Ц. Селой разработал способ (основанный на рассмотрении вектора привилегированных членов), позволяющий увидеть, например, как соотношения $(x+\lambda_ny)^{100^n}$ не влекут нильпотентность $x+\delta y$ при $\delta\notin\{\lambda_i\}$. Это может дать ключ к решению проблемы Кете. При этом работает своего рода некоммутативное обобщение Леммы Артина--Рисса, связанное со сравнением идеалов на привилегированных членах и привилегированных членов идеала. Что касается проблемы построения алгебраического бесконечномерного конечно порожденного тела, то ей предшествует проблема построения бесконечномерного конечно порожденного тела, а также проблема Кете, и перспективы здесь более отдаленные. Дело в том, что над конечным полем это утверждение неверно, а в процессе наложения соотношений алгебраичности возникает ситуация, когда мы должны рассматривать пространства, в которых уже наложены плохо контролируемые соотношения, и объект из этого пространства надо обратить. Тем не менее эта задача выглядит все же отнюдь не безнадежной (но в ближайшие 2-3 года преждевременной), и к ней можно вернуться после проработки вопросов, связанных с проблемой Кете. 7. Комбинаторика слов и символическая динамика. А.Я. Беловым, И.В. Митрофановым, И. Мелниковым было введено понятие {\it короста} или числа обструкций (минимальных редуцируемых слов) длины не выше $n$. Было показано, что корост константный или хотя бы логарифмический. Было показано, что корост в равномерно рекуррентном слове хотя бы логарифмический. В этой связи возникают вопросы, относящиеся к исследованию короста, в частности нахождения константы при логарифме. Чрезвычайно актуально исследование подстановочных систем и алгоритмических вопросов, в частности проблемы равенства HDOLL-систем и равенства языков. После работ А.Я. Белова и И.В. Митрофанова эти задачи становятся в принципе решаемыми, сейчас появился сильный студент И.Мельников. Говоря о знаменитой гипотезе Пизо, получено продвижение, связанное с тем, что фактор подстановочной динамики, связанной с вращением окружности, снова подстановочна. В этой связи кажется вполне доступным обобщение этого результата на перекладывание отрезков, а затем и на общий случай. После этого можно осуществить попытку атаки гипотезы Пизо. Чрезвычайно интересными и важными являются вопросы, связанные с подстановочными системами и перекладыванием отрезков. При этом работают теоремы типа теоремы Вершика--Лившица полученные руководителем проекта вместе с И.В. Митрофановым. 8. Ф.Д. Руховичем был осуществлен первый этап в изучении динамики двойственного бильярда вне правильных n-угольников с n отличным от 3, 4, 5, 6 (содержание его кандидатской диссертации см. https://mipt.ru/education/post-graduate/rukhovich-filipp-dmitrievich.php?clear_cache=Y. ), соответствующая статья была принята в Известия РАН. В то же время был намечен подход (после визита в Люмини в 2017 году) к "дикому" случаю, в частности к случаю правильного семиугольника, В этом году Ф.Рухович и В.Тиморин обнаружили два разных самоподобия в правильном семиугольнике и выявили их теоретико-числовые особенности. Из этого должно получиться, что множество замкнутых апериодических орбит имеет мощность континуума (замкнутая орбита - это замыкание орбиты точки). 9. В свете построения лабиринтов с заданными свойствами с применением вероятностных методов, а также исследования их обхода (в том числе лабиринтов снабженных случайными письменами) представляется очень важной следующая задача: доказать что лабиринт, расположенный на клеточной решетки нельзя обойти с помощью менее чем 5 камешками. Предполагаемый подход -- случайное построение лабиринта. Для этой цели следует развить вероятностный метод. В этой связи важно с одной стороны, провести исследование общих лабиринтов, которые требуют ровно $n$ камешков, а с другой -- круга задач, связанных с возможностью и невозможностью расположить два камешка друг над другом и иные задачи.

1. Доказана локальная конечная базируемость и локальная представимость многообразий алгебр над произвольным ассоциативно коммутативным кольцом. Показано, что любая система тождеств от ограниченного числа переменных следует из конечной подсистемы. Обнаружена связь с гипотезой Гельфанда о нетеровости действия алгебры Ли полиномиальных векторных полей обращающихся в нуле в ноль . 2. Руководитель проекта совместно с М.Л. Концевичем разработал подход к теории $D$-модулей, гипотезе Якобиана и смежным вопросам (например, относящихся к универсальным обертывающим алгебрам конечномерных алгебр Ли), связанный с редукцией по модулю бесконечно большого простого числа и изучению скобок Пуассона на центрах получившихся образований. Решена проблема Шеврина-Сапира -- построена конечно определенная бесконечная ниль-полугруппа с тождеством $x^9=0$.Развита техника работа с базисами алгебр. 11. Получен критерий того, что символическая динамика порождается перекладыванием отрезков, тем самым был дан ответ на вопрос, поставленный Г. Рози в 1979 г..Это позволило И.В.Митрофанову решить известные проблемы, поставленные А. А. Мучником, Ю.Л. Притыкиным и А.Л. Семеновым: установить алгоритмическую разрешимость проверки периодичности а также почти периодичности HDOLL-системы. 12. Совместно с И.А. Рипсом была начата разработка теории канонических форм для колец а также концепции гиперболического кольца (пока весьма предварительная). 13. Ф.Рухович и В. Тиморин обнаружили два принципиально разных самоподобия для правильного семиугольника. В 2021 году Асхабовым С.Н. были впервые исследованы методом весовых метрик (аналог метода А. Белицкого) нелинейные интегро-дифференциальные уравнения типа свертки с переменным коэффициентом 14. А.Л.Семенов и Сопрунов написали серию работ по теории определимости. Ими была обнаружена глубокая связь между теорией конечных простых групп, кратной транзитивности с одной стороны, и с вопросами определимости с другой.