Дробные эволюционные уравнения и численный анализНИР

Fractional evolution equations and numerical analysis

Соисполнители НИР

Университет Сычуаня Соисполнитель

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Дробные эволюционные уравнения : качественный анализ
Результаты этапа: Решение волнового уравнения на прямой \begin{equation} w_ {tt} (t, x) = w_ {xx} (t, x) + f (t, x), \quad t> 0, \, x \ in R \\ w (0, x) = 0, \quad w_t (0, x) = 0 \end{equation} дается по формуле Дюамеля $$ w (t, x) = \int_0 ^ t r (t, x, \tau) d \tau, $$ где $ r (t, x, \tau) $ - решение волнового уравнения $$ r_ {tt} (t, x, \tau) = r_ {xx} (t, x, \tau), \ quad t> 0, \, x \ in R \\ r (\tau, x, \tau) = 0, \quad r_t (\tau, x, \tau) = f (\tau, x) $$ Дробная формула Дюамеля была получена в работах: B. Baeumer, M.M. Meerschaert and S. Kurita, Inhomogeneous fractional diffusion equations. {\it Fract. Calc. Appl. Anal.} {\bf 8}(4) (2005), 371--386. S. Umarov, On fractional Duhamel's principle and its applications, {\it J. Differential Equations} {\bf 252} (10) (2012), 5217-5234. Хорошо известно, что решение традиционного волнового уравнения на прямой $$ u_ {tt} (t, x) = u_ {xx} (t, x), \quad t> 0, \, x \ in R \\ u (0, x) = \phi (x), \quad u_t (0, x) = \psi (x) $$ дается формулой Даламбера $$ u (t, x) = \frac {1} {2} [\phi (x + t) + \phi (x-t)] + \frac {1}{2} \int_ {x-t}^{x + t} \psi (у) dу. $$ Мы получили обобщенные формулы Даламбера для абстрактных дробных интегро-дифференциальных уравнений и дробно-дифференциальных уравнений на банаховых пространствах. Приведены некоторые примеры для иллюстрации наших абстрактных результатов, а также приведена вероятностная интерпретация этих дробных формул Даламбера.
2 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Дробные эволюционные уравнения : аппроксимационный анализ
Результаты этапа: 1. Создана общая теория дискретной аппроксимации по пространству и по времени для однородных дробных эволюционных уравнений. При этом найдены условия устойчивости разностных схем при аппроксимации дробных уравнений. Скорость сходимости не может быть установлена стандартным способом, так как производная от функции Миттаг-Леффлера имеет особенность в нуле. Установлено, что скорость сходимости простейших явной и неявной схем составляет $O(\tau^\alpha)$ , где $\alpha$ – порядок дробного дифференциального уравнения. 2. Как известно теорема Хартмана-Гробмана утверждает, что поведение динамической системы в малой окрестности гиперболической стационарной точки качественно совпадает с поведением ее линеаризации вблизи этой стационарной точки, где гиперболичность означает, что ни одно собственное значение линеаризации не лежит на мнимой оси. Поэтому при работе с такими динамическими системами можно использовать линеаризацию системы для анализа ее поведения вблизи гиперболической стационарной точки. Особый интерес представляет поведение решений дифференциальных уравнений в частных производных в окрестности гиперболической стационарной точки, включая дробные уравнения самого общего вида. Такие процессы встречаются в самых различных моделях физических явлений, что и породило бурный всплеск публикаций по данной тематике. Нами исседована аппроксимация устойчивых многообразий дробных дифференциальных полулинейных уравнений в окрестности гиперболической стационарной точки. 3. При аппроксимации некорректных задач весьма важным является следующий вопрос: пусть оператор А порождает корректно поставленную дробную задачу Коши; будет ли оператор $А^{-1}$ порождать какое-нибудь разрешающее семейство? Положительный ответ на этот вопрос позволяет строить аппроксимирующий алгоритм для исходной задачи. Нами установлены достаточные условия того, что оператор $А^{-1}$ порождает некоторое разрешающее семейство.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".