ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ИСТИНА ПсковГУ |
||
1. Одна из частей проекта связана с решением ряда фундаментальных задач, возникающих в теории аттракторов бесконечномерных динамических систем и применении полученных результатов для исследования долговременного поведения траекторий диссипативных нелинейных эволюционных уравнениям с частными производными. Особое внимание будет уделено изучению сильных траекторных аттракторов диссипативных 2D систем Эйлера с различными граничными условиями, систем реакции-диффузии, которые зависят от случайных параметров, а также исследованию аттракторов периодических по времени систем Навье-Стокса с импульсными внешними силами, которые моделируются с помощью дельта-функций. 2. В проекте запланировано исследовать аттракторы и тайлы, возникающие при построении всплесков с компактным носителем и уточняющих схем для аппроксимации поверхностей. Разработать методы вычисления граничных размерностей данных аттракторов и применить полученные результаты к вычислению показателей гладкости соответствующих функций Хаара. Разработать метод вычисления гладкости высших порядков. Для этого исследовать возможность построения универсальных функций Ляпунова для произвольного семейства линейных операторов, которые давали бы точные значения асимптотического роста дискретной динамической системы на любом собственном подпространстве. 3. Мы предлагаем подход к изучению эквивалентности условий слабой и циклической монотонности в выпуклых и невыпуклых областях с конечным множеством исходов. Эквивалетность этих двух понятий имеет большое значение. Так например условие цикличной монотонности часто используется в приложениях (например в микроэкономике), но является трудно проверяемым. Условие слабой монотонности, напротив, проверяется легко, но его часто оказывается недостаточно. Мы предлагаем новый подход, позволяющих доказать для ряда областей эквивалентность этих двух понятий. Этот результат имеет широкий набор приложений в мат. экономике: для областей предпочтений с одним пиком (single-peaked preferences) и для области предпочтений с условием валовой замены (gross-substitute preferences). Так возможны применения результата об эквивалентности цикличной и слабой монотонностей в задачах проектирования механизмов (mechanism design), пространственного распределения (spatial allocation), теории выявленных предпочтений (revealed preference theory) и теории выбора производителей (producer choice theory). 4. Еще одно направление проекта связано с поиском существенно различных решений в некорректных задачах математической физики с экспериментальными данными измерений, алгоритмам поиска таких решений (включая численную реализацию). Конкретно, речь идет об обратных задачах i) для равновесной плазмы в токамаке в рамках уравнения Грэда--Шафранова, ii) магнито-электро-энцефалографии, iii) по реконстукции коэффициентов усредненной системы Максвелла для диэлектрика с периодическими включениями металла. iv) по определению концентрации тромбина по данным измерения интенсивности люминесценции введенного в кровь фермента, активирующего свертываемость.
The project will develop a promising area of research in approximation theory – attractors and tiles that arise when constructing wavelets with compact support sets, and refinement schemes for approximating surfaces. Methods will be developed for finding the boundary dimensions of these attractors with the aim of applying to computation of smoothness degree of the corresponding Haar functions. The project plans to solve a number of fundamental problems arising in the theory of attractors of infinite-dimensional dynamical systems and apply the results to study the long-term behavior of trajectories of dissipative nonlinear evolution equations in mathematical physics. Approaches to solving a number of ill-posed problems of mathematical physics (the inverse plasma equilibrium problem in a tokamak, magneto-electroencephalography, and others) and problems of mathematical economics with experimental measurement data will be considered. Search algorithms for essentially different solutions to such problems will be developed. Also, a theorem on the equivalence of the properties of cyclic- and weak-monotonicity of functions on various domains will be proved. Our approach has interesting applications in microeconomics: in the problems of mechanism design; (2) in spatial allocation problems; (3) in problems of revealed preference theory; (4) in problems of producer’s choice theory.
1. Планируется разработать метод вычисления гладкостей по Соболеву всплесков многих переменных. Для этого предполагается использовать основные идеи работы [P1] одномерную конструкцию, разработанную ранее в статьях У.Лоутона, З.Шена, Т.Эйролы и др. [P2, P3]. 2. Доказать существование и разработать алгоритм построения универсальной функции Ляпунова, которая для каждого собственного подпространства дает точное значение асимптотического роста траектории дискретной динамической системы. 3. Исследовать геометрические свойства самоподобных аттракторов и тайлов, на основе которых строятся системы Хаара функций многих переменных. В частности, разработать метод вычисления поверхностной размерности этих множеств. 4. Планируется осуществить поиск всех существенно различных решений в обратных задачах i) для равновесной плазмы в токамаке в рамках уравнения Грэда--Шафранова, ii) магнито-электро-энцефалографии, iii) по реконстукции коэффициентов усредненной системы Максвелла для диэлектрика с периодическими включениями металла. iv) по определению концентрации тромбина по данным измерения интенсивности люминесценции введенного в кровь фермента, активирующего свертываемость. Этот поиск предполагается осуществить, опираясь на предложенный в работах [D1],[D2], [D3] участников проекта метод перебора по специальным эпсилон-сетям в компактных подмножествах пространств возможных решений. [P1] M.Charina, V.Yu.Protasov, Regularity of anisotropic refinable functions, Applied and Computational Harmonic Analysis, 47 (2019), No 3, 795-821 [P2] И.Добеши, Десять лекций по вейвлетам, НИЦ "Хаотическая и регулярная динамика" [P3] И.Я.Новиков, В.Ю.Протасов, М.А.Скопина, Теория всплесков}, М. Физматлит (2006), 612 стр. [D1].A.S. Demidov, Functional geometric method for solving free boundary problems for harmonic functions. Russian Mathematical Surveys (2010), V. 65, No. 1, 1-94. [D2] A.S. Demidov, V.V. Savelyev, Essentially different current distributions in the inverse problem for the Grad-Shafranov equation. Russian J. Math. Phys. V.17, No. 1, 56-65. [D3] A.S. Demidov, A.S. Kochurov and A.Yu. Popov, To the problem of the recovery of nonlinearities in equations of mathematical physics. ournal of Mathematical Sciences (2009) V. 163, No. 1, 46-77.
Участниками проекта разработан метод точного вычисления совместного спектрального радиуса и построения кусочно-линейной функции Ляпунова для произвольных семейств матриц. При этом был разбиран наиболее сложный случай, который не попадает под ранее разработанный алгоритм инвариантных многогранников (Гуглиелми, Протасов, Foundations of Computational Mathematics, 2013). Это случай когда максимальный спектральный радиус достигается не на одном, а на нескольких произведениях. В приложениях такой случай встречается очень часто. Для решения этой задачи было введено понятие балансировки нескольких инвариантных многогранников. Было доказано существование балансирующих весов и описыван алгоритм их приближенного вычисления. С их помощью строится единый инвариантый многогранник семейства операторов, который дает точное значение совместного спектрального радиуса. Та же конструкция применена для вычисленрия нижнего спектрального радиуса неотрицательных матриц. В качестве приложений вычислены показатели гладкости вспексов Добеши вплоть до 24 порядка, а также показатели гладкости предельных функций уточняющей схемы "бабочка". Последний результат представляет собой решение проблемы, остававшейся открытой более 20 лет. Участниками проекта решена известная задача теории всплексов и масштабирующих уравнений (функциональных уравнений многих переменных со сжатием аргумента) об определении гладкости решения. Классическое понятие выпуклой двойственности применялось для исследования суб-финслеровых задач. В результате участниками проекта был разработан аппарат выпуклой тригонометрии, позволяющий записывать явно решения этих задач в новых удобных функциях, обобщающих классические функции cos и sin (возникающих в случае круга) на случай произвольного выпуклого компактного множества на плоскости. Участниками коллектива получен принципиально новый феномен топологической структуры оптимального синтеза в задачах с двумерным управлением из треугольника.
1. Получить в 2020 году численно реализуемую явную формулу для решения в двумерной области задачи Коши с аналитическими данными на аналитической границе области для общего линейного эллиптического уравнения 2-го порядка, что станет важным тестом результатов, методов и алгоритмов в исследованиях некорректных и обратных задачах. Ранее такая явная формула была получена в [D3] для уравнения Лапласа. 2. Решить в 2020 году задачу о минимизации дисперсии и самой погрешности в задаче о восстановлении n-ой производной, применительно к проблеме определения концентрации тромбина по данным измерения интенсивности люминесценции введенного в кровь фермента, активирующего свертываемость. 3. Планируется доказать, что траекторный аттрактор диссипативной 2D системы Навье- Стокса, содержащей дополнительное экмановское трение, сходится в пределе нулевой вязкости к траекторному аттрактору соответствующей диссипативной 2D системы Эйлера с тем же экмановским трением, причем сходимость имеет место в сильной топологии. Отметим, что ранее такую сходимость удавалось доказать лишь в соответствующей слабой топологии. Отметим, что для предельного уравнения Эйлера теорема единственности не известна для рассматриваемых классов внешних сил. Эти результаты будут получены для следующих граничных условий: на всей плоскости, периодические граничные условия, ограниченная область на плоскости со свободными граничными условиями. 4. Доказать теорему об эквивалентности слабой и цикличной монотонностей на областях предпочтений с одним пиком (single-peaked preferences) и для области предпочтений с условием валовой замены (gross-substitute preferences). Получить следующие приложения: (1) в задачах проектирования механизмов (mechanism design) доказать, что правило распределения является выполнимым, если и только если оно слабо монотонно; (2) в задачах пространственного распределения (spatial allocation) доказать, что пространственное распределение является совместимым с индивидуальными задачами максимизации, если и только если оно слабо монотонно; (3) в задачах теории выявленных предпочтений (revealed preference theory) доказать, что функция спроса является рационализируемой если и только если она слабо монотонна; (4) в задачах теории выбора производителей (producer choice theory) доказать, что функция снабжения является рационализируемой, если и только если она удовлетворяет закону снабжения (аналог слабой монотонности для теории выбора производителей). Отметим, что во всех упомянутых приложениях известно, что условие цикличной монотонности является достаточным для получение описанных результатов. Однако условие цикличной монотонности очень трудно проверять на практике, в отличие от условия слабой монотонности, проверка которого предельно проста. 5. Будут построены траекторные аттракторы для систем реакции-диффузии со случайными быстро осциллирующими коэффициентами. При выполнении условий, что случайные функции являются эргодическими и статистически однородными по пространственным переменным или по времени, будет доказано, что траекторные аттракторы этих систем сходятся к траекторным аттракторам соответствующих гомогенизированных систем, у которых внешние силы являются осреднениями внешних сил в исходных системах реакции-диффузии. Отдельно будут изучаться неавтономные системы реакции-диффузии содержащие случайно осциллирующие по времени внешние силы. Аналогичные результаты планируется получить для комплексного уравнению Гинзбурга-Ландау. Отметим, что для этих систем будут рассмотрены самые общие условия, не достаточные для доказательства теоремы единственности соответствующей задачи Коши. 6. Будут построены глобальные и тракторные аттракторы для 2D и 3D систем Навье-Стокса, внешние силы которых зависят от времени и содержат импульсные компоненты, представляющие собой дельта-функции, расположенные в некоторых изолированных точках на числовой оси. В частности будет рассмотрен частный случай периодической внешней силой с дельта-образным импульсным воздействием в конце каждого периода. Для 2D системы Навье-Стокса планируется исследовать фрактальную размерность глобального аттрактора и получить оптимальные оценки сверху для размерности аттракторов в физически значимых терминах и параметрах задачи (коэффициент вязкости, площадь области, норма импульсов внешней силы).
МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. | Аттракторы и управление в математической физике |
Результаты этапа: | ||
2 | 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. | Аттракторы и управление в математической физике |
Результаты этапа: | ||
3 | 1 января 2022 г.-26 декабря 2022 г. | Аттракторы и управление в математической физике |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".