ИСТИНА

Проект направлен на создание эффективных методов численного решения обратных задач науки и техники для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений типа реакция-диффузия-адвекция с данными о положении фронта реакции.

The project is aimed at developing new numerical methods for solving inverse problems for nonlinear singularly perturbed equations of the reaction-diffusion-advection type with the location of moving front data. A feature of the direct problems of this type is that they contain nonlinear parabolic equations with a small parameter with the higher derivative. This leads to the fact that the solutions to these problems may contain narrow boundary and/or internal layers (stationary and/or moving fronts). In the case of the presence of the small parameters of a high order of smallness, these problems become difficult for a numerical solution in connection with the need to introduce extremely dense grids in both spatial and temporal variables. The main objective of this project is to develop effective numerical methods for solving this class of problems through the use of asymptotic analysis methods. One of the important features of applying the methods of asymptotic analysis to the study of the class of inverse problems considered in the project is that asymptotic analysis often allows to reduce the original inverse problem to a much simpler one that does not contain small parameters and has a smaller dimension (and sometimes even contains non-differential, but algebraic equations). Moreover, problem statements reduced using asymptotic analysis methods often explicitly relate the parameters that need to be restored when solving the inverse problem (coefficients in the equation, boundary and initial conditions, etc.) with the position of the moving reaction front, the information about the motion of which is the most natural additional information when solving real applied problems (experimental observations of the position of the reaction front, shock wave or combustion front, etc.). It is assumed that the methods and algorithms developed by the project participants will be practically applicable for solving a wide class of applied inverse problems of science and technology for nonlinear singularly perturbed equations of the reaction-diffusion-advection type if there is additional information about the location of the reaction front.

В результате научного исследования будет отработана методика применения методов асимптотического анализа для редуцирования исходных постановок обратных задач для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений типа реакция-диффузия-адвекция с данными о положении фронта реакции к более простым, которые к тому же зачастую связывают более простым образом параметры, которые необходимо восстановить при решении исходных обратных задачи (коэффициенты в уравнениях, граничные и начальные условия и т.п.) с положением движущегося фронта, информация о движении которого является наиболее естественной дополнительной информацией при решении реальных прикладных задач (экспериментальные наблюдения положения фронта ударной волны, фронта реакции или горения и т.п.). Будет изучено влияние малого параметра на регуляризирующие свойства предложенных алгоритмов. Будут получены результаты о возможности применения классических итерационных градиентных методов в случае решения рассматриваемого класса обратных задач в полной (не редуцированной) постановке с данными о положении фронта реакции и о возможности использования методов асимптотического анализа в этом случае для получения хорошего начального приближения, что особенно важно при решении нелинейных обратных задач.

За последние годы научной группой, представляющей данный проект, получены существенные результаты в области исследования контрастных структур в нелинейных дифференциальных уравнениях (обыкновенных и в частных производных), доказательству существования решений указанного типа, построению их асимптотических разложений по малому параметру. Исследованы стационарные и нестационарные задачи, получен ряд приоритетных результатов по устойчивости и формированию контрастных структур. У членов коллектива имеется существенный задел по решению некорректно поставленных обратных задач (в том и числе и коэффициентных). В последнее время частью научной группы, представляющей проект, активно развиваются подходы к решению обратных задач для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных, решения которых содержат внутренние и пограничные слои. В частности, это направление деятельности было поддержано проектом РФФИ № 18-01-00865 «Численные методы решения обратных задач для нелинейных сингулярно возмущённых уравнений, решения которых содержат внутренние и пограничные слои», в ходе реализации которого было выявлено, что постановки обратных задач с данными о положении фронта реакции являются одними из наиболее перспективных и востребованных с прикладной точки зрения. Сейчас предлагается выделить этот класс задач в отдельное направление исследований.