Методы геометрии и топологии 2021-2025НИР

Methods of geometry and topology 2021-2025

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 10 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Методы геометрии и топологии 2021-2025 (1)
Результаты этапа: Гильбертовы модули являются естественным обобщением гильбертовых пространств. Ряд результатов о гильбертовых пространствах удается перенести на гильбертовы модули. Нами дано определение гильбертова модуля с воспроизводящим ядром (RKHM) без требования автодуальности. Получена интерполяционная теорема и исследовано внешнее тензорное произведение RKHM, а также их мультипликаторы. Найдены условия, при которых левые мультипликаторы образуют RKHM. Исследована подалгебра допускающих сопряженный операторов на RKHM. Также доказан аналог теоремы Пападакиса и найдены условия, при которых произведение двух функций попадает в RKHM Пападакиса. Мы также обобщаем на случай гильбертовых модулей задачу интерполяции В-сплайнами для полуторалинейной формы В над С*-алгеброй. В случае автодуального гильбертова модуля и в случае гильбертова модуля над W*-алгеброй мы формулируем условия, при которых задача интерполяции сплайнами имеет решение. В общем случае мы выясняем, при каких условиях решение этой задачи единственно. Исследована инверсная полугруппа классов квази-эквивалентности и грубой эквивалентности метрик на дубле (несвязном объединении двух экземпляров) метрического пространства X с фиксированной метрикой dX. Получен критерий коммутативности данной инверсной полугруппы. Описана подгруппа идемпотентов как классы эквивалентности расширяющихся последовательностей подмножеств. Построены меры на этой инверсной полугруппе. На категории С*-алгебр построен эндофунктор, связанный с асимптотическими гомоморфизмами специального вида. Исследован вопрос существования структуры абелевой группы на множестве гомотопических классов морфизмов этого эндофунктора. Получены приложения к Е-теории Конна-Хигсона. Описана алгебра базисных когомологий Дольбо канонического слоения на классе комплексных многообразий с торической группой симметрий. Этот класс включает комплексные момент-угол-многообразия, LVM- и LVMB-многообразия и, в наиболее общем случае, комплексные многообразия с максимальным голоморфным действием тора. Также построена dga-модель для алгебры когомологий Дольбо. Разложение Ходжа для базисных когомологий Дольбо доказывается путем сведения к трансверсально кэлеровому случаю с использованием аналога торических раздутий для слоений. Для неориентируемого многообразия, определяемого векторной раскраской n-мерного простого многогранника, в явном виде описана другая векторная раскраска того же многогранника, задающая ориентируемое двулистное накрытие этого многообразия.
2 10 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Методы геометрии и топологии 2021-2025 (2)
Результаты этапа: Изучен неплоские фробениусовы многообразия с неассоциативными фробениусовыми структурами и связанные с ними интегрируемые уравнения. Развиты алгебро-геометрические методы в интегрируемых задачах дифференциальной геометрии. Изучены метрики согласованной кривизны и метрики диагональной кривизны и связанные с ними интегрируемые системы. Развита теория интегрируемых диагонализуемых и недиагонализуемых систем гидродинамического типа и изучены ее приложения в математической физике. Разработана теория роста алгебр Ли-Райнхарта на основе применения теории локальных колец и их локализаций. Изучены интегрируемые гиперболические системы и связанные с ними аогебраические структуры. Доказана теорема об индексе для калибровочно-инвариантных семейств эллиптических операторов с коэффициентами в С*-алгебрах. Изучено ее применение в теории струн и в геометрии. Вычислены внешние деривации алгебр Роу с коэффициентами в бимодулях Роу.
3 10 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Методы геометрии и топологии 2021-2025 (3)
Результаты этапа: Для конечного псевдометрического пространства X фильтрация Виеториса-Рипса представляет собой последовательность R(X,t) вложенных флаговых симплициальных комплексов, ассоциированных с X. Симплициальные гомологии комплексов R(X,t) используются для определения основных персистентных модулей в топологическом анализе данных - персистентных гомологий пространства X. В торической топологии рассматривается более тонкий гомологический инвариант симплициального комплекса K - биградуированные гомологии момент-угол-комплекса ZK, ассоциированного с K. Момент-угол-комплекс ZK представляет собой пространство с действием тора, составленное из произведений дисков и окружностей, параметризованных симплексами в K. На ZK задано биградуированное клеточное разбиение, и соответствующие биградуированные группы гомологий H_{-i,2j}(ZK) содержат гомологии H_n(K) в качестве прямого слагаемого. Алгебраически биградуированные модули гомологии H_{-i,2j}(ZK) являются биградуированными компонентами Tor-модулей кольца Стэнли-Райснера k[K] и могут быть представлены в виде суммы приведённых симплициальных групп гомологии всех полных подкомплексов K_I в K. На основе биградуированных гомологий момент-угол-комплексов ZR(X,t), связанных с фильтрацией Вьеториса-Рипса {R(X,t)}, можно определить биградуированные персистентные модули и биградуированные бар-коды облака точек (набора данных) X. Простые примеры показывают, что биградуированные персистентные гомологии могут различать облака точек, которые неразличимы обычными персистентными гомологиями. Двойные гомологии HH*(ZK) определяются как гомологии цепного комплекса CH*(ZK)=(H*(ZK),d'), получаемого путём введения второго дифференциала d' на биградуированных гомологиях ZK. Биградуированные двойные гомологии существенно меньше, чем обычные биградуированные гомологии момент-угол-комплексов, и поэтому могут быть более доступными с вычислительной точки зрения. Что более важно, модули персистентных гомологий, определённые на основе биградуированных двойных гомологий фильтрации Вьеториса-Рипса, обладают свойством стабильности, т.е., грубо говоря, устойчивости к малым изменениям входных данных. Получено новое явное описание кольца когомологий момент-угол многообразия простого трёхмерного многогранника. Продолжено исследование полной симметрической системы Тоды. Эта система является аналогом открытой цепочки Тоды, ее фазовым пространством является пространство полных симметрических матриц. Данная система является супер-интегрируемой и связана с геометрией пространств флагов. В этом году было получено обобщение метода решения с помощью QR-разложения для данной системы. Собственно метод использует конструкцию присоединенных ковариантных внешних степеней оператора Лакса. Как известно, двумеризованные цепочки Тоды, соответствующие матрицам Картана простых алгебр Ли, интегрируемы по Дарбу, т.е. допускают полные семейства независимых в главном характеристических интегралов по обоим направлениям. В 2011 году Хабибуллиным был предложен систематический подход к дискретизации этих систем. Ранее были получены лишь частичные результаты об интегрируемости этих систем. Мы показали, что если некоторая функция является характеристическим интегралом обобщенной цепочки Тоды в непрерывном случае, то она же является n-интегралом ее дискретизации. Отсюда следует существование полного набора независимых n-интегралов для полудискретных систем, отвечающих матрицам Картана всех простых алгебр Ли. Далее, мы показали, что для этих систем характерическая алгебра по другому направлению оказывается изоморфной характеристической алгебре соответствующей системы в непрерывном случае. Отсюда следует конечномерность карактеристических алгебр полудискретных систем, что влечет существование полного набора интегралов по второму направлению. Описаны топологические базисы SU-линейных проекторов из комплексных кобордизмов в c1-сферические, коммутирующих с операцией d, классифицированы SU-билинейные умножения на теории c1-сферических бордизмов, соответствующие этим проекторам и вычислены соответствующие кольца коэффициентов.
4 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Методы геометрии и топологии 2021-2025 (4)
Результаты этапа: На основе спектральной последовательности Бухштабера получено описание когомологической структуры последовательности нильмногообразий Гейзенберга M_H^{2n−1} → M_H^{2n+1}, n = 1, 2, ..., в терминах биградуированных симплектических структур на торах T^{2n}, соответствующих sl_2-представлениям на когомологиях торов T^{2n}. Доказано, что малое накрытие над трёхмерным многогранником имеет три гиперэллиптические инволюции тогда и только тогда, когда оно является рациональной гомологической сферой и тогда и только тогда, когда это малое накрытие индуцировано тремя согласованными гамильтоновыми циклами на многограннике. Доказано, что на фуллерене 6-бочка (единственном фуллерене с двумя шестиугольниками) нет трёх согласованных гамильтоновых цикла. Построен пример трёх согласованных гамильтоновых циклов на единственном фуллерене с тремя шестиугольниками. Показано, что существует два многогранника, не допускающих трёх согласованных гамильтоновых циклов, таких что их связная сумма вдоль 4-угольников допускает три таких цикла. Момент-угол-комплекс - топологическое пространство (клеточный комплекс) с действием тора, рассматриваемое в торической топологии и теории гомотопий полиэдральных произведений. Топология момент-угол-комплекса Z_K определяется комбинаторикой соответствующего симплициального комплекса K. Если K - нерв-комплекс простого многогранника P, то соответствующий момент-угол-комплекс, обозначаемый Z_P, является гладким многообразием. Существует несколько различных геометрических конструкций момент-угол-многообразий, которые обогащают их топологию замечательными и своеобразными геометрическими структурами. Одна из них возникает в голоморфной динамике, где момент-угол-многообразие Z_P возникает в качестве пространства листов голоморфного слоения на открытом подмножестве комплексного пространства. Это пространство листов диффеоморфно невырожденному пересечению эрмитовых квадрик. Все ранние примеры момент-угол-многообразий, возникавшие в данном контексте, были диффеоморфны связным суммам произведений сфер. Таков, например, случай, когда P - двумерный многогранник (многоугольник). Однако из описания кольца когомологий Z_P (Бухштабер-Панов) стало ясно, что топология момент-угол-многообразий в общем случае гораздо более сложна, нежели у связных сумм произведений сфер; к примеру, кольцо H*(Z_P) может иметь аддитивное кручение любого порядка или нетривиальные высшие произведения Масси. Тем не менее, открытым остаётся вопрос описания класса простых многогранников P (в более общем случае симплициальных сфер K), для которых момент-угол-многообразие Z_P гомеоморфно связной сумме произведений сфер. Данный вопрос интересен также с точки зрения комбинаторики и теории гомотопий, так как он связан с условиями минимальной неголодовости K и хордовостью его одномерного остова. Доказано, что кольцо когомологий момент-угол-комплекса Z_K, соответствующего 3-мерной симплициальной сфере K, изоморфно кольцу когомологий связной суммы произведений сфер тогда и только тогда, когда либо а) K является границей 4-мерного аналога октаэдра, либо б) одномерный остов K^1 - это хордовый граф, либо в) K имеет ровно два недостающих ребра, и они образуют бесхордовый 4-цикл. Для симплициальных сфер K произвольной размерности получено достаточное условие изоморфизма колец H*(Z_K) = H*(M), где M - связная сумма произведений сфер. Исследовано понятие С*-модульной независимости для двух тернарных подпространств гильбертова С*-модуля над унитальной С*-алгеброй $A$. Показано, что это понятие обобщает классическое понятие С*-независимости для двух С*-подалгебр в С*-алгебре. Получена характеризация С*-модульной независимости в терминах расширений типа Хана-Банаха, новая даже для С*-независимости. Построен ряд примеров С*-модульно независимых пар тернарных подпространств. Проведено сравнение межу геометрическим определением алгеброидов Ли (в смысле Прадинеса) и алгебраическим определением алгебр Ли--Райнхарта. Показано, что понятие алгебр Ли--Райнхарта является более общим понятием, чем геометрическое понятие алгеброидов Ли. Более того, в терминах алгебр Ли--Райнхарта естественно вводятся операции комплексификации и овеществления алгеброидов Ли, которые расширяются до операции перехода от кольца скаляров до подкольца скаляров. Ключевым моментов в таком переходе служит естественный гомоморфизм из алгебры дериваций структурного кольца алгебры Ли--Райнхарта над кольцом скаляров в алгебру дериваций над подкольцом скаляров. В частном случае поля комплексных чисел алгебра дериваций над полем комплексных чисел совпадает с алгеброй дериваций над полем вещественных чисел. Доказано, что любое билипшицево отображение прямой в себя продолжается до билипшицева отображения плоскости в себя, сохраняющего площадь любого измеримого подмножества. Доказано, что единственными ориентированными родами Хирцебруха, жёстким и обращающимся в нуль на плоскости Кэли, являются обобщённые роды Виттена. В 1991 году Гельфанд и Ретах воплотили идею некоммутативного определителя Дьедонне для порождающей матрицы алгебры RTT, а именно, они нашли представление квантового определителя алгебры RTT в виде произведения главных квазидетерминантов. Нам удалось найти аналог приведенного выше утверждения для алгебры уравнения отражения, соответствующей R-матрице Дринфельда в размерности 2 и 3. А именно, мы нашли семейство квазидетерминантов, которые являются главными по отношению к антидиагонали, коммутирующих между собой, произведение которых оказывается генератором центра этой алгебры. Это семейство обобщает набор интегралов полной системы Тоды, полученный ранее Дейфтом и др. для квантового случая алгебр уравнения отражения. По нашему мнению, этот результат также проясняет роль данных алгебр как квантовых однородных пространств и может быть использован для построения эффективных квантовых теорий поля с границей. В связи с задачами классической дифференциальной геометрии Дарбу были получены элегантные детерминантные формулы для общего решения линейного гиперболического уравнения второго порядка с конечным рядом Лапласа. Нами были построеные полудискретные и полностью дискретные аналоги этих формул. Чисто дискретный аналог формул Дарбу представляет интерес с точки зрения дискретной дифференциальной геометрии, поскольку это дает полное описание так называемых Q-сетей с конечным рядом Лапласа. Были продолжены исследования связи между метриками, критическими для собственных чисел различных обобщений оператора Лапласа на поверхностях, и минимальными или гармоническими отображениями этих поверхностей в симметрические пространства. Эта связь между фундаментальными объектами спектральной геометрии и дифференциальной геометрии привела к значительным результатам в последние пять лет в проблеме изопериметрических неравенств для собственных чисел, и ожидаются новые продвижения.
5 1 января 2025 г.-31 декабря 2025 г. Методы геометрии и топологии 2021-2025 (5)
Результаты этапа: Пространство модулей M_{0,n} упорядоченных n точек на комплексной проективной прямой CP^1 естественно возникает в разных задачах современной алгебраической геометрии. Построена категория CAT(A,n), описывающая компактификации пространства M_{0,n}, где A -- множество весов точек. Доказано, что пространство орбит G_{n,k}/T^n стандартного действия компактного тора T^n на комплексном многообразии Грассмана G_{n,k} является универсальным объектом этой категории. В терминах действия тора T^n на G_{n,k} описаны компактификация Делиня--Мамфорда, о которой идёт речь в знаменитой гипотезе Виттена, и компактификация Лосева--Манина, результатом которой является гладкое торическое многообразие над пермутоэдром. Показано, что компактификация Делиня--Мамфорда является начальным объектом категории CAT(A,n) и описана каноническая проекция компактификации Делиня--Мамфорда на компактификацию Лосева--Манина. Описан способ, как по эйлерову циклу без трансверсальных самопересечений на трёхмерном идеальном прямоугольном гиперболическом многограннике построить зацепление, дополнение до которого разбивается на 4 копии этого многогранника, склеенных согласно его шахматной раскраске, а двулистно разветвлённое накрывающее пространство является малым накрытием, построенным по гамильтонову циклу на простом многограннике, соответствующем эйлерову циклу. Доказано, что каждый идеальный прямоугольный гиперболический многогранник имеет хотя бы один эйлеров цикл без трансверсальных самопересечений и дана конструкция, как по одному циклу строить новые. Наша конструкция обобщает пример У.П.Тёрстона разбиения дополнения до стандартной цепи из 2k звеньев на 4 копии (2k)-антипризмы. Доказана конечная порожденность абелизации ядра Джонсона замкнутой ориентированной поверхности рода 3. Ядром Джонсона называется подгруппа группы классов отображений замкнутой ориентированной поверхности, порожденная скручиваниями Дена вдоль всевозможных простых замкнутых кривых, разделяющих поверхность. Вопрос о конечной порожденности ядра Джонсона и его абелизации для родов g>=3 находился в центре внимания специалистов в течение последних десятилетий. Его положительное решение для g>3 было опубликовано в ведущих математических журналах (A. Dimca, S. Papadima // Ann. Math., 2013; M. Ershov, S. He // Duke Math. J., 2018; T. Church, M. Ershov, A. Putman // J. Eur. Math. Soc., 2022). Однако самый сложный случай g=3 оставался полностью открытым и специалистами ожидался скорее отрицательный ответ. Тем не менее, удалось доказать, что абелизация ядра Джонсона замкнутой ориентированной поверхности рода 3 конечно порождена. Доказано, что любой лежандров лаврентьевский узел обладает стандартной трубчатой окрестностью. Было показано, что любое билипшицево отображение границы единичного круга на границу плоской области площади пи продолжается до билипшицева отображения круга, которое сохраняет площадь любого измеримого подмножества. Для конечного псевдометрического пространства X фильтрация Виеториса-Рипса представляет собой последовательность R(X,t) вложенных флаговых симплициальных комплексов, ассоциированных с X. Симплициальные омологии комплексов R(X,t) используются для определения основных персистентных модулей в топологическом анализе данных - персистентных гомологий пространства X. В торической топологии рассматривается более тонкий гомологический инвариант симплициального комплекса K - биградуированные гомологии момент-угол-комплекса ZK, ассоциированного с K. Момент-угол-комплекс ZK представляет собой пространство с действием тора, составленное из произведений дисков и окружностей, параметризованных симплексами в K. На ZK задано биградуированное клеточное разбиение, и соответствующие биградуированные группы гомологий H_{-i,2j}(ZK) содержат гомологии H_n(K) в качестве прямого слагаемого. Алгебраически биградуированные модули гомологии H_{-i,2j}(ZK) являются биградуированными компонентами Tor-модулей кольца Стэнли-Райснера k[K] и могут быть представлены в виде суммы приведённых симплициальных групп гомологии всех полных подкомплексов K_I в K. На основе биградуированных гомологий момент-угол-комплексов ZR(X,t), связанных с фильтрацией Вьеториса-Рипса {R(X,t)}, можно определить биградуированные персистентные модули и биградуированные бар-коды облака точек (набора данных) X. Простые примеры показывают, что биградуированные персистентные гомологии могут различать облака точек, которые неразличимы обычными персистентными гомологиями. Определены двойные гомологии HH*(ZK) как гомологии цепного комплекса CH*(ZK)=(H*(ZK),d'), получаемого путём введения второго дифференциала d' на биградуированных гомологиях момент-угол-комплекса ZK. Двойные когомологии HH*(ZK) также отождествляются со вторыми двойными когомологиями бикомплекса, полученного добавлением второго дифференциала d' к дифференциальной градуированной алгебре Кошуля кольца Стенли-Райснера k[К]. Биградуированные двойные гомологии существенно меньше, чем обычные биградуированные гомологии момент-угол-комплексов, и поэтому могут быть более доступными с вычислительной точки зрения. Что более важно, модули персистентных гомологий, определённые на основе биградуированных двойных гомологий фильтрации Вьеториса-Рипса, обладают свойством стабильности, т.е., грубо говоря, устойчивости к малым изменениям входных данных. Это открывает возможность приложений двойных гомологий в топологическом анализе данных. Дополнение конфигурации диагональных подпространств x_{i1}=⋯=x_{ik} в вещественном пространстве задается симплициальным комплексом K. Доказано, что каждое такое дополнение гомотопически эквивалентно специальному подкомплексу Perm(K) граней пермутоэдра. Умножение в кольце когомологий дополнения диагональной конфигурации описано на основе клеточной аппроксимации Санеблидзе–Умбле диагонального отображения пермутоэдра. Доказано, что при проекции пермутоэдра на куб диагональ Санеблидзе–Умбле переходит в диагональную аппроксимацию Цая, используемую для описания умножения в когомологиях вещественного момент-угол-комплекса. Показано, что кольцо когомологий момент-угол-комплекса ZK, соответствующего 3-мерной симплициальной сфере K, изоморфно кольцу когомологий связной суммы произведений сфер тогда и только тогда, когда либо а) K является границей 4-мерного аналога октаэдра, либо б) одномерный остов K1 - это хордовый граф, либо в) K имеет ровно два недостающих ребра, и они образуют бесхордовый 4-цикл. Для симплициальных сфер K произвольной размерности приводится достаточное условие изоморфизма колец H∗(ZK)≅H∗(M), где M - связная сумма произведений сфер. Построеные полудискретные и полностью дискретные аналоги формул Дарбу для общего решения линейных гиперболических уравнений с конечным рядом Лапласа. С точки зрения дискретной дифференциальной геометрии, подобные формулы дают большой запас функций, параметризующих так называемые Q-сети, являющиеся дискретными аналогами сопряженных сетей. Изучались обобщенные ряды Пуанкаре нормирований. В ряде случаев термин ``обобщённый'' по отношению к некоторым инвариантам используется в следующем смысле. Эти инварианты определяются (или могут быть определены) в терминах эйлеровой характеристики. Эйлерова характеристика (определённая как альтернированная сумма рангов групп когомологий с компактными носителями) является аддитивным инвариантном топологических пространств. Для некоторых классов пространств имеются другие (более тонкие) аддитивные инварианты. Например, многочлен Ходжа-Делиня является аддитивным инвариантом на классе комплексных квазипроективных пространств. Ранее е были получены обобщенные ряды Пуанкаре для нескольких нормирований, соответствующих плоским кривым, и нескольких дивизориальных нормирований. Для одного нормирования, соответствующего плоской кривой, обобщенный ряд совпадает с обычным, не обобщённым, рядом Пуанкаре. Это так в этом случае поскольку все коэффициенты обычного ряда Пуанкаре равны $0$ или $1$. Для одного дивизориального нормирования это не так. Поэтому вычисление обобщённого ряда Пуанкаре для дивизориального нормирования имеет смысл. Однако, этот случай ранее не был рассмотрен. Исследования в этом направлении были проведены в 2025 году. Все предыдущие рассмотрения были для нормирований на алгебре ростков голоморфных функций в начале координат на комплексной плоскости (или, что эквивалентно, на алгебре C[[x,y]] формальных степенных рядов). Ситуация становится другой (и более сложной) при рассмотрении нормирований на алгебре ростков голоморфных функций, чьи коэффициенты Тейлора принадлежат (фиксированному) подполю K поля комплексных чисел (например, полю вещественных чисел) или, что эквивалентно, алгебре K[[x,y]] формальных степенных рядов. Алгоритм восстановления обобщённого ряда Пуанкаре из обычного (для одного нормирования) может быть применён только к степенному ряду с нетрицательными (целыми) коэффициентами. Неясно, когда выражение для ряда Пуанкаре представляет степенной ряд с нетрицательными коэффициентами. В связи с этим становится естественным не пытаться восстановить обобщённый ряд Пуанкаре из (вычисленного) обычного, а попробовать вычислить его более-менее независимо. Для нормирований, определённых ростками неприводимых плоских кривых, и дивизориальных нормирований получены ответы, даваемые в терминах двойственного графа разрешения, инвариантного относительно группы Галуа
6 1 января 2026 г.-31 декабря 2026 г. Методы геометрии и топологии 2021-2025 (6)
Результаты этапа: -

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".