ИСТИНА

В проекте рассматривается актуальная для геофизики проблема создании эффективных математических методов анализа микро- и нанопористой геометрической структуры сланцев с помощью трехмерной рентгеновской компьютерной томографии (РКТ) высокого разрешения с коррекцией фазы. Предлагается: 1) Создание новых «быстрых» методов предварительной обработки данных (коррекции фазы) трехмерной РКТ, уменьшающих дифракционные эффекты, которые часто возникают в технической томографии. Методы базируются на прямом решении дискретной краевой задачи для эллиптического уравнения транспорта интенсивности с помощью аппарата разреженных матриц. 2) Разработка новых «быстрых» и устойчивых математических алгоритмов решения трехмерной некорректной обратной задачи РКТ высокого разрешения, позволяющих получать хорошее разрешение и контрастность структуры образцов с устранением артефактов. Предполагается ее решения методами разреженной регуляризации на классах функций нескольких переменных с ограниченными вариациями Харди и Арцела, что обеспечивает кусочно-равномерную сходимость регуляризующих алгоритмов. 3) Создание новых специализированных численных методов глобальной и локальной апостериорной оценки точности получаемых решений трехмерной обратной задачи РКТ, позволяющих получить оценки в виде числа за приемлемое время расчетов. 4) Разработка программного обеспечения, реализующего методы и алгоритмы из пп. 1) – 3) на персональном компьютере (ПК) и на суперкомпьютере с распараллеливанием вычислений. 5) Обработка экспериментальных данных томографии образцов сланцев, полученных китайской стороной проекта. С помощью разработанных в проекте методов, алгоритмов и программ будет повышена разрешающая способность и контрастность методов РКТ исследования пористой структуры сланцев.

The project is devoted to creating effective mathematical methods for analyzing the micro- and nanoporous geometric structure of shales with the help of three-dimensional high-resolution X-ray computer tomography (PCT) with phase correction, which is topical for geophysics. The following is suggested. 1) Creation of new "fast" methods of preliminary processing of data (phase correction) of three-dimensional RCT, reducing diffraction effects, which often arise in technical tomography. The methods are based on the direct solution of the discrete boundary-value problem for the elliptic equation of intensity transport using sparse matrices. 2) Development of new "fast" and stable mathematical algorithms for solving the three-dimensional ill-posed inverse problem of high-resolution RCT that allow obtaining good resolution and contrast of the structure of samples with elimination of artifacts. It is supposed to be solved by the methods of sparse regularization on classes of functions of several variables with bounded Hardy and Arzela variations, which ensures the piecewise-uniform convergence of regularizing algorithms. 3) Creation of new specialized numerical methods for global and local a posteriori estimation of the accuracy of the solutions obtained for the three-dimensional inverse RCT problem, which present estimates in the form of a number for an acceptable calculation time. 4) Development of software that implements methods and algorithms from paragraphs 1) - 3) on a personal computer (PC) and on a supercomputer with parallel calculations. 5) Processing of experimental data of shale tomography samples obtained by the Chinese side of the project. Using the methods, algorithms, and programs developed in the project, the resolving power and contrast of the RKT methods for studying the porous structure of shales will be enhanced.

а) Экономичных алгоритмы коррекции фазы путем решения дискретных трехмерных краевых задач в конечных выпуклых областях для эллиптического уравнения транспорта интенсивности с помощью прямого обращения соответствующей системы линейных уравнений с разреженной матрицей. Программные модули, реализующих предлагаемый метод решения, и их тесты. Анализ полученных результатов при решении модельных задач в сравнении с известными результатами. Статья по итогам исследования. б) Специализированные методы кусочно-равномерной регуляризации, основанные на применении функций нескольких переменных с ограниченными вариациями типа Харди, для обратных задач РКТ высокого разрешения. Анализ полученных результатов при решении модельных задач в сравнении с известными результатами. Программные модули, реализующих предлагаемые методы, и их тесты. Статья по итогам исследования. в) Специализированные численные алгоритмы глобальной апостериорной оценки точности решений обратных задач РКТ. Программные модули, реализующих предлагаемый алгоритмы, и их тесты. Анализ полученных результатов при решении модельных задач в сравнении с известными результатами. Статья по итогам исследования. г) Распараллеленные версии разработанных алгоритмов и программ решения обратных задач РКТ высокого разрешения для ПК средней производительности.

Приведем краткое описание наиболее важных и новых результатов работ, которые будут использованы участниками проекта при его выполнении. Современная теория численных методов решения линейных и нелинейных некорректных задач изложена в монографиях: Тихонов А.Н. Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М. Наука, 1990; Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М., Наука, 1995; Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач. Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. М.: УРСС, 2009. В частности, в первой книге изложена теория решения двумерных интегральных уравнений типа свертки, обобщение которой на системы двумерных и трехмерных интегральных уравнений будет использовано при реализации проекта. Во второй книге даны новые методы регуляризации некорректных задач в функциональных пространствах общего вида, сформулированы и исследованы численные алгоритмы их решения. Мировое признание результатов авторов выразилось, в частности, в том, что первая монография вышла на английском языке и словацком языках, а вторая на английском. В третьей книге изложены последние достижения в области решения обратных некорректно поставленных задач, включая вопросы использования пространств функций нескольких переменных с ограниченными вариациями различных типов, а также теорию и методы апостериорного оценивания точности решений некорректных задач.