ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ИСТИНА ПсковГУ |
||
Настоящий проект посвящён разработке постановок, решений и вычислительных методов для новых классов математических задач управления, мотивированных современными прикладными проблемами. Имеется в виду объединение задачи совокупной оптимизации управления потоками транспорта на автострадах в условиях электротяги, когда требуются регулярные подзарядки аккумуляторов, с задачей распределения электроэнергии в «умных» электросетях, с реверсированием сетевых потоков, в единой постановке. В качестве аппарата исследований будут рассмотрены задачи управления распределениями и пучками траекторий, динамики и управления в моделях систем автономного управления изолированными и групповыми движениями, задачи поиска по результатам наблюдений, маршрутизации и уклонения от препятствий. Теоретические решения будут сопровождаться адекватными вычислительными методами и алгоритмами, с использованием параллельных вычислений, позволяющих решать задачи для систем высоких порядков и доводить решения до конца. Последнее возможно путём использования современных суперкомпьютерных технологий. Указанные задачи, в рассматриваемых постановках и в пределах требуемых средств, являются безусловно научно новыми и несомненно весьма актуальными. Они ещё недостаточно изучены, что подчёркивает своевременность данного проекта. Используемый в проекте общий подход, объединяющий решения перечисленных задач, состоит в применении «Гамильтонова формализма» в виде обобщений методов динамического программирования. Такой подход является новым и требует отдельного осмысления для каждого нового класса задач, позволяющего вывести в используемом пространстве состояний «уравнение динамического программирования» типа Гамильтона-Якоби-Беллмана, что стало возможно, по сравнению с прежними временами, в связи с применением для рассматриваемых в проекте проблем современных математических подходов, развивающих созданные в предыдущие годы методы негладкой оптимизации.
The present project is aimed at the development of setups, solution analysis and computational tools for new classes of mathematical control problems motivated by modern applied issues. The goal is to unite problems of joint optimization of traffic flows control on highways when electric traction is used and regular recharging of batteries is necessary and of distribution of electrical power flow through smart grids with possibility of reversing the flows, so that these problems are to be considered in the common setting. As research techniques, the problems of controlling distributions and trajectory tubes, those of dynamics and control in models of systems with isolated motions or with groups of such motions, as well as problems of coordinated observation and control, of route selection and obstacle avoidance will be considered. The theoretical solutions will be accompanied by appropriate computational methods and algorithms that rely on parallelizable procedures, allowing to solve problems to the end. The last is possible by involving modern super-computer technologies. The indicated problems, in investigated form and within technical requirements, are certainly scientifically new and undoubtedly very relevant. They are not yet fully studied which indicates that the project appears in proper time. The general approach suggested in the project does join all the indicated problems. It consists in applying the Hamiltonian formalism in the form of the generalized method of dynamic programming. Such an approach is new and requires an individual form of applying the common general principle to each new specific class of problems. Namely, for each such class it is necessary to indicate a space of system states within which one may produce a proper “dynamic programming equation” of the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) type. This approach became realizable, as compared with earlier times, by applying modern techniques developed on the basis of the earlier developed theory of nonsmooth optimization.
Настоящий проект посвящён разработке постановок, анализу и решению новых классов прикладных задач. А именно, имеется ввиду моделирование транспортных потоков на многорядных магистралях, загруженных автотранспортом с преобладанием электрической тяги, широкое применение которой имеет место уже сейчас и повсеместно ожидается уже в третьем десятилетии 21-го века. Таким образом, будут поставлены и изучены примеры грядущей совместной оптимизации проблем транспорта и проблем распределения электроэнергии. Будут предложены новые схемы минимизации транспортных поездок моделей автотранспорта с учётом электротяги и необходимостью периодической перезарядки обслуживаемых систем. Суммарное гарантированное время конкретных поездок будет минимизировано с учётом возможностей новых классов батарей для перезарядок. Будут изучены примеры расположение точек перезарядки в транспортных сетях с учётом их геометрии, диапазона расстояний рассматриваемых классов поездок и диапазона мощностей обслуживаемых систем с помощью методов гарантирующей оптимизации. Будут предложены модели распределения потоков электроэнергии в электрических сетях с учётом дополнительных новых потребностей от электротранспорта, проработаны примеры. Решение указанных выше вопросов математического моделирования имеет серьёзное значение, в том числе, для управления автономными системами на электротяге и процессами дистанционного управления движением.
Основные ранее полученные научные результаты коллектива состоят в следующем: 1. Математическая теория координированного коллективного управления. Синтез целевого управления для коллектива («группы») систем, удовлетворяющих условию гарантированного нестолкновения членов группы и в то же время лежащих в виртуальном контейнере заданного объёма. Предложена теория управления таким целевым движением в условиях препятствий. 2. Теория гарантированного оценивания состояния и параметров систем управления движением по результатам доступных измерений (наблюдений). Развита для систем функционирующих в условиях постоянно действующих, неопределённых возмущений, информация о которых исчерпывается заданием допустимых областей их изменения. 3. Теория трубок траекторий динамических систем — их описание, анализ и способы управления ими. Здесь методы динамической оптимизации были применены для вычисления прямых и попятных трубок достижимости систем управления и дифференциальных включений. 4. Развит принцип сравнения для уравнений типа Гамильтона-Якоби, позволяющий получить приближенные верхние и нижние оценки решений. 5. Задачи математического моделирования и управления потоками транспорта на автостраде. Разработаны и исследованы различные математические модели. Предложены новые алгоритмы управления транспортными потоками при различных конфигурациях транспортной сети. 6. Вычислительные методы для многозначных функций. Поскольку решения многих новых задач управления сводятся к изучению трубок траекторий, оказалось необходимым вычислять такие трубки - многозначные функции. Были предложены методы аппроксимации выпуклозначных трубок при помощи набора параметризованных эллипсоидально- или полиэдральнозначных функций. Построение первых осуществляется на основе разработанных методов эллипсоидального исчисления. Полученные теоретические результаты реализованы в форме программного обеспечения – пакета Ellipsoidal Toolbox для среды программирования Matlab.
МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Теория и методы вычислений для новых классов сложных систем управления |
Результаты этапа: По итогам работы над первым этапом проекта были получены следующие основные результаты: - Завершено полное описание решений задач синтеза управлений с импульсными входами первого порядка и частично - с импульсами любого порядка. - Рассмотрены задачи векторного оптимального и минимаксного управлений. Получены основные соотношения для решений. - Дано описание решений задач группового синтеза целевых управлений на конечном интервале времени. - Исследованы свойства феллеровского переходного ядра с носителями мер, заданными многозначными отображениями. - В рамках гарантированного детерминисткого подхода к суперхеджированию изучены свойства «безарбитражности» рынка. - Рассмотрены задачи импульсного управления для системы с запаздыванием в двух постановках - для конечномерного и бесконечномерного случая. Получены алгоритмы построения целевого управления для конкретной системы. - Для нелинейной системы управления, описывающей трофическую (пищевую) цепь для четырех видов, в случае, когда управление входит в коэффициенты естественного роста и естественной убыли первого и третьего вида, соответственно, построена позиционная стратегия, позволяющая за конечное время привести состояние системы в ε-окрестность одного из возможных положений равновесия. Рассмотрена модель трехмерной пищевой цепи с учетом внутривидовой конкуренции жертвы и управлением коэффициентов естественного роста/убыли жертвы. На основе принципа сравнения построены два вида внутренних оценок трубки разрешимости в множество возможных положений равновесия, осуществлены численные расчеты. - Разработан новый метод приближенного решения задачи синтеза управлений для системы с нелинейностью по одной из фазовых переменных, за счет использования непрерывных кусочно-квадратичных функций цены. Проведены численные расчеты для примера решения задачи управления квадрокоптером. - Предложен метод решения задачи стабилизации нелинейной системы с переключениями за счет построения вспомогательной кусочно-линейной функции Ляпунова. | ||
2 | 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. | Теория и методы вычислений для новых классов сложных систем управления |
Результаты этапа: Были рассмотрены постановки и решения следующих новых классов задач управления: - во-первых, проблемы применения гамильтонова формализма в терминах метода динамического программирования к решению задач о синтезе управлений для систем с импульсными и быстрыми входами; - во-вторых, были приведены решения новых проблем оптимизации динамики и управления систем с векторными критериями оптимальности; - в третьих, были указаны решения задач целевого управления для групповых систем. Были также даны решения задач о синтезе управлений для новых классов нелинейных систем с фазовыми ограничениями, с нелинейными унициклами и при неопределённости в переключениях. Для таких решений были разработаны вычислительные методы с использованием процедур распараллеливания, позволяющие решать задачи больших размерностей. Рассмотрена модель финансового рынка с детерминистской эволюцией цен с дискретным временем, в которой цены активов эволюционируют в условиях неопределенности, описываемой при помощи априорной информации о возможных приращениях цен, а именно, предполагается, что они лежат в заданных компактах, зависящих от предыстории цен. Торговые ограничения, зависящие от предыстории цен, предполагаются выпуклыми, касаются только рисковых активов и позволяют все средства вкладывать в безрисковый актив. При исследовании указанной модели получены следующие основные результаты: 1) Для решений уравнений Беллмана–Айзекса, при отсутствии торговых ограничений, оценен модуль непрерывности равномерно непрерывных решений, в том числе для липшицевых решений этих уравнений. 2) Введено смешанное расширение чистых стратегий ``рынка'' и исследованы вопросы, связанные с существованием игрового равновесия и его следствиями. 3) Изучено игровое равновесие для случая отсутствия торговых ограничений, в предположении отсутствия арбитражных возможностей. Разработаны алгоритмы приближенного решения задачи целевого управления для нелинейной системы за счёт её кусочной линеаризации (гибридизации), с использованием специальных классов непрерывных кусочно-аффинных или кусочно-квадратичных функций цены. Получены гарантированные оценки на отклонение траектории от целевого положения при использовании сконструированных законов управления. Рассмотрена линейно-квадратичная задача с запаздыванием в функционале. Получены выражения для оптимального синтеза при различных вариантах учета начальных данных. | ||
3 | 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. | Теория и методы вычислений для новых классов сложных систем управления |
Результаты этапа: Применен гамильтонов формализм в терминах метода динамического программирования к решению задач оптимизации динамики и управления систем с векторными критериями оптимальности и задачам целевого управления для группы систем. Указаны решения задач синтеза для нелинейных систем следующего вида: с фазовыми ограничениями, с нелинейными унициклами и при неопределённости в переключениях. Рассмотрена модель финансового рынка с детерминистской эволюцией цен с дискретным временем, в которой цены активов эволюционируют в условиях неопределенности. С помощью метода динамического программирования исследовано поведение данной модели. Получены оптимальные стратегии. Разработаны алгоритмы приближенного решения задачи целевого управления для нелинейной системы за счёт её кусочной линеаризации (гибридизации), с использованием специальных классов непрерывных кусочно-аффинных или кусочно-квадратичных функций цены. Получены гарантированные оценки на отклонение траектории от целевого положения при использовании законов управления. Рассмотрены различные задачи поиска управления движением квадрокоптера при наличии препятствий. Получены алгоритмы, позволяющие вычислять искомые управления. Позиционное управление найдено за счёт использования техники кусочной линеаризации исходной нелинейной системы дифференциальных уравнений, а также при помощи методов эллипсоидального исчисления. Для рассматриваемых классов задач предложены вычислительные методы с использованием процедур распараллеливания, позволяющие решать задачи больших размерностей. Исследована математическая модель маржирования, в которой требуется определить необходимый уровень гарантийного обеспечения. Найдены удобные для вычислений рекуррентные формулы для численной оценки констант Липшица решений уравнений Беллмана–Айзекса, что позволяет следить за точностью вычислений. Построен программный комплекс, позволяющий эффективно выполнять трудоемкую вычислительную задачу решения данных уравнений. Для задачи суперрепликации с дискретным временем была рассмотрена гарантированная детерминистская постановка, состоящая в гарантированном покрытии обусловленного обязательства по проданному опциону при всех допустимых сценариях. Для данной задачи были изучены свойства “гладкости” смешанных оптимальных стратегий “рынка” и их носителей. Введен новый показатель — порог структурной устойчивости для модели финансового рынка и получены явные выражения. В предположении структурной устойчивости модели получены оценки для равномерной аппроксимации модели. В предположении отсутствия торговых ограничений показано, что структурная устойчивость сохраняется для вероятностных моделей, если условные распределения цен при заданной предыстории близки в определенных метриках. Проведен численный эксперимент на основе ранее предложенных вычислительных методов решения задачи суперхеджирования. |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".