Аннотация:В 1937г. Т.Шнейдер доказал, что в любой алгебраической точке степени
большей 2 модулярная функция $j(\tau)$ принимает трансцендентное
значение. Эта теорема была выведена из некоторого утверждения о
трансцендентности чисел, связанных с эллиптическими функциями.
В курсовой работе А. Шемелёвой предлагается другое доказательство
этого утверждения. Оно основано на теореме 3, которая в курсовой
работе доказывается двумя способами. Первый основан на теореме
Шнейдера-Ленга, применяемой к так называемым тета-функциям. По пути
доказывается теорема 2 о существовании трансцендентного числа среди
нескольких отношений тета-констант. Второе доказательство использует
метод Гельфонда-Шнейдера с помощью которого в своё время была решена
7-я проблема Гильберта. Для реализации этого подхода в курсовой
работе исследуются арифметические свойства коэффициентов разложений
функций Якоби $sn z, cn z, dn z$ в ряды Тейлора в точке $z=0$.