|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ПсковГУ |
||
Сильная сходимость в надкритических процессах Гальтона-Ватсонакурсовая работа (Бакалавр)
- Научный руководитель: Булинская Е.В.
- Автор: Н.К.Никитина
- Тип: Бакалавр
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Кафедра: Кафедра математической статистики и случайных процессов
- Год защиты: 2020
- Курс: 3
- Аннотация: В теории ветвящихся процессов всем хорошо знаком результат для надкритического процесса Гальтона-Ватсона $\{Z(n),n\in\mathbb{Z}_+\}$, утверждающий следующее. Пусть $Z(0)=1$ и $m:={\sf E}Z(1)>1$. Тогда $Z(n)/m^n\stackrel{\mbox{п.н.}}{\longrightarrow}W$, $n\to\infty$, где случайная величина $W$ является невырожденной тогда и только тогда, когда ${\sf E}Z(1)\log(Z(1)+1)<\infty$. Последнее соотношение известно как $L\log L$-условие. Однако менее известны результаты о сходимости нормированного процесса Гальтона-Ватсона, когда $L\log L$-условие не выполнено. Н.К.Никитина смогла полностью разобраться в вопросе сильной сходимости нормированного надкритического процесса Гальтона-Ватсона. Она подробно доказала (теорема~2 курсовой работы), что в случае справедливости $L\log L$-условия верно ${\sf E}W=1$, а иначе ${\sf P}(W=0)=1$. В общем случае, когда $L\log L$-условие не обязательно выполнено, автор курсовой работы показала (теорема~3), что существует последовательность констант $\{C_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+}$ такая, что $C_n\to\infty$, $C_{n+1}/C_n\to m$ при $n\to\infty$ и случайная последовательность $\{Z(n)/C_n,n\in\mathbb{Z}_+\}$ сходится с вероятностью $1$ к случайной величине $W$ такой, что ${\sf P}(W>0)=1-q$, где $q<1$ -- вероятность вырождения процесса Гальтона-Ватсона. В курсовой работе также получено уравнение, которому удовлетворяет преобразование Лапласа предельной случайной величины $W$. Таким образом, в последней теореме устанавливается сходимость нормированного процесса Гальтона-Ватсона к невырожденной случайной величине даже в том случае, когда $L\log L$-условие не выполнено. При этом доказательство теоремы~3 курсовой работы является конструктивным, и можно предъявить точный вид констант $C_n$.
- Добавил в систему: Булинская Екатерина Владимировна