Описание:Курс посвящен методам решения интересных и нетривиальных задач из области математического и действительного анализа. Ставится цель – повышение математической культуры слушателей путем преодоления устоявшихся стереотипов. Это достигается изучением патологических примеров функций и множеств.
В первой части курса рассматривается совершенное множество Кантора, пример несчетного нигде не плотного множества меры нуль. На его базе строится сингулярная функция Кантора («Чертова лестница»), монотонно возрастающая функция с производной почти всюду равной нулю.
Вторая часть курса посвящена совершенным нигде не плотным множествам на плос-кости – «ковер Серпинского», «кладбище Серпинского», «гребенка Кантора». Исследуется арифметическая структура данных множеств.
В третьей части курса изучаются различные способы отображения единичного отрезка прямой на единичный квадрат плоскости. Строятся примеры кривых Пеано, изучаются свойства этих отображений: непрерывность, однозначность, не взаимно однозначность и др. Параллельно формализуется понятие кривой на плоскости.
В четвертой части демонстрируется применение фракталов для построения примеров сильно патологических функций: функции, которая имеет точки разрыва, плотно расположенные в единичном квадрате и которая дифференцируема в точках, также расположенных плотно там же; функции всюду непрерывной на единичном отрезке, но нигде не дифференцируемой на нем и др.