Описание:Курс лекций на специальном потоке <<Фундаментальная математика и математическая физика>> на механико-математическом факультете МГУ (4-й курс, 7-й семестр). Курс включает основы теории гомологий. Текст лекций доступен на странице Т.Е. Панова на сайте кафедры высшей геометрии и топологии: http://higeom.math.msu.su/people/taras/
Программа курса:
1. Симплициальные гомологии
1.1. Симплициальные комплексы и триангуляции
1.2. Симплициальные гомологии. Примеры вычислений
2. Сингулярные гомологии
2.1. Определение и первые свойства
2.2. Функториальность и гомотопическая инвариантность
2.3. Длинная точная последовательность гомологий
2.4. Относительные группы гомологий и точная последовательность пары
2.5. Теорема вырезания и её следствия
2.6. Точная последовательность Майера-Виеториса
2.7. Эквивалентность симплициальных и сингулярных гомологий
3. Клеточные гомологии
3.1. Клеточный цепной комплекс и его гомологии
3.2. Явный вид граничного гомоморфизма
3.3. Эйлерова характеристика
4. Гомологии с коэффициентами и когомологии
4.1. Определения и основные свойства
4.2. Коэффициентные точные последовательности
4.3. Функторы Tor и Ext
4.4. Формулы универсальных коэффициентов
5. Кольцо когомологий
5.1. Произведение Колмогорова-Александера
5.2. Относительные произведения и X-произведение
5.3. Клеточное определение умножения
5.4. Формула Кюннета
5.5. Примеры вычислений колец когомологий
6. Двойственность Пуанкаре
6.1. Топологические и гладкие многообразия.
6.2. Группы локальных гомологий. Ориентация. Фундаментальный класс.
6.3. Когомологии с компактными носителями.
6.4. Изоморфизмы двойственности, относительные версии.
6.5. Связь с когомологическим умножением.