Описание:Во многих областях математики и физики встречаются алгебры Хопфа, т.е. алгебры, наделённые кроме умножения и единицы ещё и двойственными отображениями: коумножением и коединицей, а также определённым отображением, называемым антиподом. Структурой алгебры Хопфа наделены групповые алгебры, универсальные обёртывающие алгебр Ли, кольца когомологий групп Ли, алгебры регулярных функций на аффинных алгебраических группах.
В случае, когда алгебра Хопфа действует на другой алгебре, наличие коумножения в алгебре Хопфа позволяет согласовать действие и умножение в алгебре. Благодаря наличию коумножения, алгебра Хопфа может не только действовать, но и кодействовать на другой алгебре. При этом та алгебра, на которой (ко)действует алгебра Хопфа, называется (ко)модульной. Алгебры, градуированные некоторой группой, - это в точности комодульные алгебры над групповой алгебры градуирующей группы. Некоммутативная (ко)модульная алгебра может быть проинтерпретирована как алгебра функций на некотором некоммутативном пространстве с действием квантовой группы квантовых симметрий. На самом деле, алгебра Хопфа и группа - это частные случаи одного и того же категорного понятия (моноида Хопфа), соответственно, в категории векторных пространств над полем и категории множеств.
В спецкурсе планируется рассмотреть следующие понятия: коалгебра; комодуль; биалгебра; корадикал; коалгебра, конечная двойственная к алгебре; интегралы на биалгебрах; моноидальные категории; свободная алгебра Хопфа коалгебры; косвободная алгебра Хопфа алгебры; расширение Хопфа - Галуа. Также планируется доказать фундаментальную теорему о модулях Хопфа, теорему Ларсона - Рэдфорда, теорему Костанта - Габриэля - Картье о структуре кокоммутативных алгебр Хопфа, коснуться категорных конструкций в категориях алгебр Хопфа и коалгебр.