ИСТИНА

В работе представлен метод вычисления оператора Дирихле-Неймана (DN), его спектра и соответствующих собственных функций для различных плоских областей. Оператор Дирихле-Неймана ставит в соответствие функции её нормальную производную в точках границы области. Корректность реализованного программного комплекса и вычислений подтверждается проверкой того, что DN(u)=с.з.*u. Общеизвестные приложения: а) Обратные задачи и томография (импедансная томография, задача Кальдерона). На тело (или геологический разрез) накладывают электроды, пропускают ток (условие Неймана) и измеряют получившийся потенциал на поверхности (условие Дирихле). Или наоборот: задают напряжение и меряют ток. Измеряя на границе объекта отклик (DN-оператор), мы получаем информацию о внутренней структуре (электропроводности). Задача состоит в том, чтобы по оператору восстановить коэффициенты уравнения внутри Ω. Это используется для обнаружения раковых опухолей, поиска полезных ископаемых или контроля строительных конструкций. б) При анализе распространения волн (акустических, электромагнитных) оператор Дирихле—Неймана используется для моделирования поведения волн на границе раздела сред. Нелокальные граничные условия. Иногда нужно "схлопнуть" внешнее пространство. DN-оператор позволяет заменить бесконечную внешнюю среду точным условием на границе расчетной области. Это особенно важно при расчете задач рассеяния на препятствиях (например, как самолет "видит" радар). При проектировании покрытий, делающих объекты невидимыми (плащи-невидимки, метаматериалы), свойства покрытия часто описываются с помощью импедансных соотношений, тесно связанных с DN-оператором. в) Декомпозиция области (Вычислительная математика) При решении больших задач на суперкомпьютерах расчетную область разбивают на множество мелких кусков. Чтобы сшить решения на границах между подобластями, используются так называемые условия Стейклова—Пуанкаре. DN-оператор естественным образом возникает как оператор, переводящий значение функции на границе раздела в поток через эту границу. Это позволяет строить эффективные параллельные алгоритмы. г) Гидродинамика и задачи с неизвестной границей, волны на воде В задачах о движении корабля или волн цунами часто решают уравнения относительно потенциала скорости. На свободной поверхности воды (которая движется) граничные условия связывают вертикальную скорость (производную потенциала) с самой поверхностью. DN-оператор помогает связать значение потенциала на дне с его значением на поверхности. При моделировании таяния льда или замерзания воды граница между фазами движется. Скорость движения границы зависит от потоков тепла (нормальных производных) с двух сторон. DN-оператор связывает температуру на границе с этими потоками. д) Спектральная геометрия Знаменитый вопрос: "Можно ли услышать форму барабана?" (Марк Кац). Оказывается, спектр (набор собственных чисел) оператора Лапласа в области не всегда однозначно определяет её форму. Однако изучение спектральной теории DN-оператора дает гораздо больше геометрической информации. По тому, как ведут себя собственные числа DN-оператора, можно судить о кривизне границы, наличии острых углов и других геометрических особенностях области. е) Квантовая механика В квантовых точках и наноструктурах поведение электронов описывается уравнением Шрёдингера. Границы раздела материалов могут быть очень сложными. Иногда их удобно заменить эффективными граничными условиями, которые строятся с помощью DN-оператора, что позволяет упростить моделирование сложных полупроводниковых структур. Дополнительно в работе предлагается применение к следующим задачам. Предлагается принципиально новый подход к решению задач управления подвижными объектами в различных средах (гидро-, аэро- и космической), основанный на использовании спектра оператора Дирихле–Неймана. Этот оператор выступает в качестве математического инструмента, позволяющего свести задачу расчёта силовых полей (давления, скорости) к границе области, что существенно упрощает моделирование взаимодействия объекта с окружающей средой. Спектральные свойства оператора Дирихле–Неймана несут информацию об устойчивости движения и динамических характеристиках системы «объект–среда». На основе разработанного математического аппарата и эффективных численных методов будет реализован программный комплекс для вычисления спектра оператора для сложных областей, что открывает возможности для применения псевдоспектральных методов с граничными условиями Дирихле–Неймана в реальном времени. Подход может быть использован для управления космическими аппаратами и анализа колебаний гибких конструкций (например, солнечных парусов); адаптивного планирования траекторий БПЛА с учётом атмосферных возмущений на основе спектральной идентификации ветровых полей; оценки устойчивости подводных и надводных аппаратов по измерениям давления и скорости на корпусе; решения аэродинамических задач управления пограничным слоем и повышения управляемости летательных аппаратов. Интеграция методов вычисления оператора Дирихле–Неймана с алгоритмами траекторной оптимизации позволит разработать универсальные системы управления движением в сложных многосвязных средах.