ИСТИНА

Знаменитая теорема Абеля устанавливает критерий существования в гиперэллип- тическом поле элементов, обладающих периодическим разложением в непрерывную дробь. Впоследствии значительное число исследований было направлено на изучение проблемы периодичности функциональных непрерывных дробей, включая получе- ние верхних оценок на возможные длины периодов. Даже в числовом случае вопрос об оценках на длины периодов числовых непрерывных дробей (цепных дробей) в настоящее время не имеет окончательного ответа. В первой части доклада будут представлены результаты об верхних оценках на возможные длины периодов и квазипериодов функциональных непрерывных дробей [2]. Вторая часть доклада будет посвящена до недавнего времене открытой проблеме о конечности множества возможных длин периодов непрерывных дробей для задан- ного гиперэллиптического поля. В совместной с В.П. Платоновым работе [1] было доказано что если в гиперэллиптическом поле 𝐿 есть элемент с периодическим раз- ложением в функциональную непрерывную дробь, то в поле 𝐿 найдется элемент, у которого длина периода непрерывной дроби больше любого наперед заданного числа. В качестве следствия получен результат о неограниченности длин периодов в после- довательностях степеней неполных частных соответвующих разложению в функци- ональную непрерывную дробь элементов поля 𝐿. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант 25-21-00125).