ИСТИНА

Классическое расстояние Громова-Хаусдорфа между метрическими пространствами $X$ и $Y$ определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между образами $X'$ и $Y'$ пространств $X$ и $Y$ по всем изометрическим вложениям $\phi\colon X\to Z$ и $\psi\colon Y\to Z$ в некоторое метрическое пространство $Z$. Впервые это расстояние было введено Дэвидом Эдвардсом в $1975$ году ([2]) и позднее стало знаменитым благодаря работе Михаила Громова о группах полиномиального роста ([3]). Позднее появилось более эффективное для вычислений определение через искажения соответствий (т.е. многозначных сюръективных отображений, см. [1]). Хорошо известно ([1]), что для ограниченного метрического пространства $(X, d_X)$ отображение, умножающее его метрику на положительное число $t$, является непрерывным относительно расстояния Громова-Хаусдорфа и задаёт стягивание на классе всех ограниченных метрических пространств при $t\to 0$. Более того, кривая $\gamma(t) = tX$, $t\in[0, +\infty)$ является геодезической в классе Громова-Хаусдорфа. В известной монографии [4] Михаил Громов ввёл в рассмотрение классы метрических пространств на конечном расстоянии Громова-Хаусдорфа друг от друга (в работе [5] такие классы были называны \emph{облаками}) и анонсировал, что произвольное облако является стягиваемым. Возникает естественная гипотеза о том, что подобное стягивание должно снова порождаться умножением всех пространств облака на положительное число $t$, а все полученные кривые будут геодезическими. Оказывается, это неверно даже в случае некоторых естественных облаков, например, заданных $\mathbb{R}^n$ с обычной евклидовой метрикой. В докладе будет приведён упомянутый контрпример, а также построен класс метрических пространств в облаке вещественной прямой, для которых умножение метрики на положительное число $t$ даёт геодезическую. После этого мы обсудим свойства отображения ультраметризации $\textbf{U}$ --- естественного способа сопоставить данному метрическому пространству некоторое ультраметрическое пространство. В качестве приложений развитой техники будут представлены недавние результаты о равенстве расстояний Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа от метрических деревьев до некоторых их подмножеств ([6], [7]). Простым следствием этих результатов является конструкция альтернативных геодезических, соединяющих произвольную $\varepsilon$-сеть в $\mathbb{R}$ с $\mathbb{R}$ в классе Громова-Хаусдорфа.