ИСТИНА

Расстояние Громова–Хаусдорфа — одна из красивейших конструкций метрической геометрии, которая позволяет определить обобщённую псевдометрику на классе всех метрических пространств. Впервые это расстояние было введено Дэвидом Эдвардсом в 1975 году и позднее стало знаменитым благодаря работе Михаила Громова о группах полиномиального роста. Классическое расстояние между метрическими пространствами X и Y определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между образами X′ и Y ′ пространств X и Y по всем изометрическим вложениям ϕ : X → Z и ψ : Y → Z в некоторое метрическое про- странство Z. В докладе речь пойдёт о классическом расстоянии Громова–Хаусдорфа между нормированными пространствами. Будет представлено более простое доказательство теоремы о том, что если расстояние Громова–Хаусдорфа между конечномерными нормированными пространствами конечно, то они изометричны. Также мы обсудим понятие равносторонней размерности нормированного пространства, которая определяется как наибольшая мощность подмножества данного пространства, все попарные расстояния между различными точками которого равны. В работе [1] показано, что равносторонняя размерность произвольного конечномерного нормированного пространства размерности n не превосходит 2^n. Мы обсудим свойства наборов точек, по мощности превосходящих равностороннюю размерность данного нормированного пространства. Также при помощи полученных результатов будет доказана новая оценка снизу на расстояние Громова–Хаусдорфа между конечномерным нормированным пространством и произвольным метрическим пространством большей равносторонней размерности.