ИСТИНА

Как правило, на многогранниках геодезический поток не рассматривают с точки зрения интегрируемости, так как поведение движущейся точки в вершинах, вообще говоря, корректно не определено. Однако, многогранники, допускающие корректное доопределение траектории частицы, попавшей в вершину, существуют. К ним относятся тетраэдры, сумма углов при каждой вершине которых равна π, в том числе, правильный тетраэдр. Более того, мы показали, что других подходящих выпуклых многогранников не существует. В случае же выше описанного тетраэдра, траектории, не проходящие через вершины многогранника, будут являться локально-кратчайшими, т.е. геодезическими, а при попадании в вершину их можно считать биллиардными траекториями, поведение которых определяется по плоской развертке. Теорема 1. Пусть W — выпуклый многогранник, допускающий корректное доопределение биллиардных траекторий (на плоской развертке), попадающих в его вершины. Тогда W является тетраэдром, у которого сумма плоских углов в его вершинах равна π. Развертками многогранника, сумма углов при вершине которого равна π, можно замостить всю плоскость, что позволяет рассматривать траекторию движущейся частицы как прямую в R^2. В таком случае угол пересечения прямой-траектории с ребрами тетраэдра при развертке является дополнительным первым интегралом, так как остается постоянным при движении частицы. Область значений этого интеграла — окружность. Оказывается, данная динамическая система является интегрируемой по Лиувиллю (в кусочно-гладком смысле). Теорема 2. Пусть W — выпуклый многогранник, допускающий корректное доопределение траекторий, попадающих в его вершины, как биллиардных траекторий. Тогда дополненный таким образом геодезический поток на нем является вполне интегрируемым по Лиувиллю. Регулярные слои возникающего слоения Лиувилля являются двумерными торами. При этом, критических уровней у этой системы нет. Поэтому изоэнергетическое 3-многообразие является расслоением над окружностью со слоем 2-тор.