ИСТИНА

\title{Проблемы Шпехтового типа для универсальных алгебр} \author{ А.~Я.~Канель-Белов, И.~Е.~Воробьев} \begin{document} \maketitle $\mbox{BIU}$, Moscow Center for Advanced Studies, Kulakova str. 20, Moscow 123592, Russia, \bigskip Посвящается светлой памяти Виктора Николаевича Латышева, Александра Васильевича Михалева и Евгения Соломоновича Голода \bigskip Хорошо известна следующая \medskip {\bf Проблема Шпехта.} {\it Будет ли система тождеств ассоциативной алгебры над полем характеристики ноль конечно базируема, т.е. задаваться конечным базисом тождеств?} \medskip Она была решена А.Р.Кемером (“Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр”, Алгебра и логика, 26:5 (1987), 597--641) На самом деле более фундаментальным являнется вопрос о {\it представимости}. Многообразие алгебр, удовлетворяющее системе тождеств, является полной подкатегорией категории всех алгебр. Универсальным отталкивающими объектами в этой подкатегории являются т.н. {\it относительно свободные алгебры}. {\it Представимость} относительно свободной ассоциативной алгебры над полем означает ее вложимость в алгебру матриц над кольцом многочленов. {\it Локальная представимость многообразия} означает представимость конечно порожденных ассоциативных алгебр. Над полем нулевой характеристики и над бесконечным полем она была установлена А.Р.Кемером (А. Р. Кемер, “Представимость приведенно-свободных алгебр”, Алгебра и логика, 27:3 (1988), 274--294). А. Р. Кемер, ``Тождества конечнопорожденных алгебр над бесконечным полем'', Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:4 (1990), 726--753) Для алгебр над конечным полем а также над нетеровыми ассоциативно- коммутативными кольцами (без условия нетеровости основного кольца проблема конечной базируемости имеет тривиальное отрицательное решение, а именно систему тождеств $\lambda_i\cdot x=0$ где $\{\lambda_i\}$ порождают бесконечно базируемый идеал в основном кольце) ситуация такова. Под {\it представимостью} следует понимать вложимость в алгебру, являющуюся нетеровым модулем над своим центроидом. Такое же определение естественно дать в контексте универсальных алгебр, причем произвольной сигнатуры. Автором доклада (А.Я.Белов, ``Локальная конечная базируемость и локальная представимость многообразий ассоциативных колец'', Изв. РАН. Сер. матем., 74:1 (2010), 3--134) была установлена следующая \medskip {\bf Теорема.}\ {\it Многообразие алгебр над нетеровым ассоциативно коммутативным кольцом {\em локально конечно базируемо} (т.е. любая система тождеств от конечного числа переменных следует из конечной подсистемы.) и локально представимо. } \medskip Проблему Шпехта можно рассматривать на полилинейном уровне. Под {\em обструкцией} понимается приводимый моном такой, что \begin{itemize} \item Все собственные подмономы неприводимы \item Он не яляется нетривиальным изотонным образом приводимого монома. \end{itemize} \medskip {\bf Гипотеза В.Н.Латышева.} Система ассоциативных полилинейных тождеств имеет конечный набор обструкций и потому конечно базируема. \medskip Отметим, что многообразие ассоциативных алгебр над полем положительной характеристики бесконечно базируемо. Первые контрпримеры были построены автором и доложены на семинаре по теории колец под руководством В.Н.Латышева, А.В.Михалева, Е.С.Голода, чуть позже и другие участники семинара построили контрпримеры. А. Я. Белов, ``О нешпехтовых многообразиях'', Фундамент. и прикл. матем., 5:1 (1999), 47--66, А. Я. Белов, “Контрпримеры к проблеме Шпехта”, Матем. сб., 191:3 (2000), 13--24 В. В. Щиголев, “Примеры бесконечно базируемых $T$-идеалов”, Фундамент. и прикл. матем., 5:1 (1999), 307--312, В. В. Щиголев, “Примеры бесконечно базируемых $T$-пространств”, Матем. сб., 191:3 (2000), 143--160, А. В. Гришин, “Примеры не конечной базируемости $T$-пространств и $T$-идеалов в характеристике 2”, Фундамент. и прикл. матем., 5:1 (1999), 101--118. В этой связи возникает вопрос об обобщении ассоциативных результатов на неассоциативный случай. Огромное значение в развитии неассоциативной тематики послужила монография К.А. Жевлаков, А. М. Слинько, И. П. Шестаков, А. И. Ширшов. "Кольца, близкие к ассоциативным". А.В.Ильтяков (ученик И.П.Шестакова) доказал локальную конечную базируемость многообразий альтернативных $PI$-алгебр над полем характеристики ноль (А. В. Ильтяков, “Конечность базиса тождеств конечно-порожденной альтернативной $PI$-алгебры над полем характеристики нуль”, Сиб. матем. журн., 32:6 (1991), 61--76). Для положительной характеристике он построил контрпримеры. Он же привел примеры бесконечно базируемых многообразий в альтернативном случае. Для алгебр Ли над полем нулевой характеристики была показана локальная конечная базируемость (Il'tyakov, A. V. ``On finite basis of identities of Lie algebra representations''. Nova J. Algebra Geom. 1, No. 3, 207--259 (1992). А.Вайс и Е.И.Зельманов установили локальную конечную базируемость многообразий йордановых $PI$-алгебр. (А. Я. Вайс, Е. И. Зельманов, “Теорема Кемера для конечнопорожденных йордановых алгебр”, Изв. вузов. Матем., 1989, 6, 42--51) В этой связи следует отметить, что вышеупомянутые работы доказывали только {\it локальную конечную базируемость} многообразий но не {\it локальную представимость}. Это связано со следующим обстоятельством. В доказательстве Кемера используется стартовая конечномерная алгебра, все тождества которой выполняются в данном многообразии. Существование такой алгебры выводится из теоремы Размыслова-Кемера-Брауна о нильпотентности радикала (имеющую неассоциативные аналоги), и теоремы Левина о полупрямом произведении, позволяющей переходить ь к степени идеала. Принципиальная трудность заключается в отсутствии аналога теоремы Левина, поэтому доказательства проблемы Шпехта используют обходной маневр. С другой стороны в работе А. Я. Белов, “О кольцах, асимптотически близких к ассоциативным”, Матем. тр., 10:1 (2007), 29--96 доказана достаточно общая {\bf Теорема (а)} {\it Пусть $\mathfrak{M}$~-- удобное многообразие алгебр над полем нулевой характеристики, все подмногообразия которого представимы. Тогда ряд Гильберта $H_Q$ произвольного $T$ -пространства $Q$ в относительно свободной алгебре из $\mathfrak{M}$ рационален. } {\bf (б)} {\it Удобное многообразие алгебр над полем нулевой характеристики локально шпехтово, и относительно свободные алгебры из этого многообразия представимы. } {\bf Определение}\ {\it Многообразие $\mathfrak{M}$ называется {\em структурируемым}, если каждая конечномерная алгебра из $\mathfrak{M}$ разлагается в сумму простых компонент и нильпотентного радикала. Структурируемое многообразие называется {\em удобным}, если оно порождено некоторой конечномерной алгеброй. } При этом выполнимость всех тождеств некоторой конечномерной алгебры пришлось постулировать. Вместе с тем, принципиальным является понимание взаимодействия полупростых компонент через радикал, и в этой связи чрезвычайно важно исследование неассоциативных модулей Е.И.Зельмановым, И.П.Шестаковым и его школой. Здесь имеется весьма перспективное поле исследования. Удивительно, что в высокой степени общности можно доказывать достаточно нетривиальные результаты. Имеет место \medskip {\bf Теорема о ранге.} {\it Первичная алгебра, в которой выпоняется система тождеств Капелли порядка $n+1$ но не порядка $n$ после локализации центроида вкладывается в $n$-мерую алгебру над своим центроидом}. \medskip \medskip {\bf Теорема Размыслова-Кушкулея.} {\it Неизоморфные простые алгебры над алгебраически замкнутом полем произвольной характеристики порождают различные многообразия}. \medskip \medskip {\bf Теорема } {\it Представимая (многоосновная) алгебра произвольной сигнатуры имеет целую размерность Гельфанда-Кириллова.} \medskip Проблемы шпехтового типа дали новый взгляд на созданную Ф. А. Березиным теорию супералгебр. А. Р. Кемер в нулевой характеристике свёл изучение бесконечно порождённых свободных алгебр к случаю конечно порождённых супералгебр. Идеи Кемера позволили И.П.Шестакову осознать ряд контрпримеров в неассоциативной ситуации. Все они оказались грассмановыми оболочками конечномерных алгебр. (И. П. Шестаков, “Супералгебры и контрпримеры”, Сиб. матем. журн., 32:6 (1991), 187--196). На этом пути ученик С.В.Пчелинцева (А. В. Бадеев, “О шпехтовости многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики $3$ и коммутативных луп Муфанг”, Сиб. матем. журн., 41:6 (2000), 1252--1268) построил бесконечно базируемое многообразие коммутативных луп Муфанг. Отметим, что работа Н. И. Санду, “Бесконечные неприводимые системы тождеств коммутативных луп Муфанг и дистрибутивных квазигрупп Штейнера”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 51:1 (1987), 171--188 по мнению В.Н.Латышева, является ошибочной. Алгебра Грассмана обычно изучается над полем характеристики, не равной 2 (в случае характеристики 2 стандартный набор соотношений даёт обычную коммутативную алгебру). Контрпримеры к проблеме Шпехта в характеристике 2 привели к построению конструкции, нетривиально обобщающей алгебру Грассмана над любым кольцом (включая поле характеристики 2). Работа была проведена совместно с Галем Дором и Узи Вишне. При этом вместо знака перестановки (плюс или минус один) возникло понятие обобщённого знака — элемента некоторого модуля, сопоставляемого перестановке. Эти конструкции открывают путь к построению супертеории над полем произвольной характеристики (включая 2). \medskip Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект No 22-11-00177). (https://rscf.ru/project/22-11-00177/).