ИСТИНА

Рассматривается пространство Соболева $\mathring{W}^n_p[0;1]$, состоящее из вещественных функций $y$, обладающих абсолютно непрерывными производными до порядка $n-1$, таких, что $y^{(n)}\in L_p[0;1]$ ($1\leqslant p\leqslant \infty$ и выполняются краевые условия $y^{(j)}(0)=y^{(j)}(1)=0$ ($j=0,1,\ldots,n-1$). Для произвольной точки $a\in (0;1)$ изучаются величины $A_{n,k,p}(a)$, которые являются наименьшими возможными в неравенствах $$ |y^{(k)}(a)|\leqslant A_{n,k,p}(a)\|y^{(n)}\|_{L_p[0;1]},\; y\in \mathring{W}^n_p[0;1], \; k=0,1,\ldots,n-1. $$ Также целью является получение точных констант вложения пространства $\mathring{W}^n_p[0;1]$ в пространство $\mathring{W}^k_\infty[0;1]$ $$ \Lambda_{n,k,\infty}:=\max_{a\in[0;1]}A_{n,k,p}(a). $$ Определим $\mathcal{P}_m$ --- пространство вещественных многочленов $$ \mathcal{P}_m=\left\{\sum_{j=0}^m c_jx^j,\quad x,c_j\in\mathbb{R}, 0 \leqslant j\leqslant m\right\} $$ степени не выше $m$. Также рассмотрим сплайны вида $$ S_{n,k,a}(x):=\left\{\begin{aligned}\frac{(x-a)^{n-k-1}}{n-k-1)!}, \quad x\in[0;a]\\ 0,\quad x\in (a;1] \end{aligned}\right. $$ \textbf{Теорема~1.} \textit{Для величин $A_{n,k,p}(a)$ справедливо равенство $$ A_{n,k,p}(a)=\min_{u\in P_{n-1}}\left\|S_{n,k,a}-u\right\|_{L_p'[0;1]}. $$} Заметим, что случай $p=2$ изучен в [1] при всех $n\in \mathbb{N}$ и $k=0,1,\ldots,n-1$. Далее нас интересует случай $p=\infty$. На основании результатов о наилучшем приближении многочленами характеристической функции в $L_1[0;1]$ (см. [2]) доказана следующая теорема. \textbf{Теорема~2.} \textit{Если $k=n-1$ четно, то точка $a=1/2$ является точкой глобального максимума функции $A_{n,n-1,\infty}$. Если $k=n-1$ нечетно, то точка $a=1/2$ является точкой локального минимума функции $A_{n,n-1,\infty}$.} \textit{ При четном $n$ точками глобального максимума функции $A_{n,n-1,\infty}$ являются точки $\sin^2\frac{\pi n}{4(n+1)}$ и $\sin^2\frac{\pi (n+2)}{4(n+1)}$ (ближайшие к $1/2$ точки из множества $\left\{a_j=\sin^2\frac{\pi j}{2(n+1)}\right\}_{j=1}^n$). Таким образом, \begin{gather*} \Lambda_{n,n-1,\infty,\infty}=\frac12\tg\frac{\pi}{2(n+1)},\quad \text{если } n \text{ нечетно},\\ \Lambda_{n,n-1,\infty,\infty}=\frac12\tg\frac{\pi}{2(n+1)}\sin\frac{\pi n}{2(n+1)},\quad \text{если } n \text{ четно}. \end{gather*} } Свойства функций $A_{n,0,\infty}$ ($k=0$) можно описать в терминах ядра Пеано (см.[3]), которое определяется следующим образом $$ V_n(t):=\frac{2 \sqrt{2}(n+1)}{\pi n !}\left(\frac{1-t^2}{2}\right)^{n+1 / 2} \cdot \displaystyle\int_{-1}^1 \frac{(1-x^2)^n}{1-(t+i x \sqrt{1-t^2})^{2(n+1)}} dx. $$ На основании свойств ядра Пеано и сплайна $S_{n,0,a}$ устанавливается следующий результат. \textbf{Теорема~3.} \textit{Справедлива формула $$ A_{n,0,\infty}(a)=\frac{V_{n}(2a-1)}{2^n},\quad a\in[0;1]. $$ } \textbf{Теорема~4.} \textit{Точные константы вложения $\Lambda_{n,0,\infty}$ определяются следующим образом $$ \Lambda_{n,0,\infty}=A_{n,0,\infty}(1/2)=\frac{V_{n}(0)}{2^n}=\frac{n+1}{\pi n!2^{2(n-1)}}\int_{0}^1 \frac{(1-x^2)^n}{1+(-1)^n x^{2(n+1)}} dx. $$ }