ИСТИНА

Сферические многообразия --- это интересный класс рациональных алгебраических многообразий, содержащий широко известный класс торических многообразий и являющийся их своего рода некоммутативным расширением. Помимо торических многообразий, к сферическим относятся и многие другие известные и важные алгебраические многообразия: грассманианы, многообразия флагов, симметрические пространства, детерминантные многообразия и ряд других. Сферические многообразия почти однородны в следующем сильном смысле: они снабжены действием редуктивной группы G, которая не только сама имеет открытую орбиту, но этим свойством обладает и её подгруппа Бореля B Сферические многообразия можно классифицировать с помощью данных комбинаторно-дискретной и выпукло-геометрической природы, как в торической геометрии (решётки, конусы и вееры с дополнительными данными, выпуклые многогранники и кусочно-линейные функции и т.п.). В терминах этих данных можно эффективно изучать геометрические свойства сферических многообразий и применять их к решению разных задач, к числу которых относятся: исчислительная геометрия на некомпактных однородных пространствах, проблемы разложения тензорных произведений и ветвления в теории представлений, описание алгебраических полугрупп и др. В данном курсе мы рассмотрим некоторые из этих задач и подходы к их решению с помощью теории сферических многообразий. Природу хороших геометрических и когомологических свойств сферических многообразий можно усмотреть в их фробениусовой расщепимости в положительной характеристике. Это свойство ввели Мехта и Раманатан в 1985 и применили к изучению многообразий Шуберта. Фробениусову расщепимость сферических многообразий при редукции в положительную характеристику доказали Брион и Инамдар в 1994. Из этого свойства выводятся, например, рациональность особенностей и обращение в 0 высших когомологий численно эффективных линейных расслоений. Если будет время, мы обсудим фробениусову расщепимость сферических многообразий. Для слушателей желательно владеть основами алгебраической геометрии и иметь представление об алгебраических группах и/или группах Ли и их линейных представлениях.