ИСТИНА

Доклад основан на результатах совместной работы авторов с д.ф.-м.н. профессором А. Э. Гуерманом. Первые результаты, описывающие отображения матричной алгебры, были получены Георгом Фробениусом в работе [1]. Он показал, что линейные отображения кольца квадратных матриц над полем комплексных чисел T:Mn(C)→Mn(C), которые сохраняют определитель det(T(A)) = det(A) для всех A∈Mn(C), имеют видT(A) =PAQ для всех A∈Mn(C) или (1)T(A) =PATQ для всехA∈Mn(C),гдеP,Qтакие невырожденные матрицы, чтоdet(PQ) = 1.Оказывается, что довольно широкий класс отображений имеет форму, подобную (1). По этой причине мы будем назовем такой вид отображения стандартным. Результат Фробениуса в 1949 был обобщен Жаном Дьёдонне [2]. Он доказал, что если отображение линейно, биективно и сохраняет вырожденность, то оно тоже будет иметь стан-дартный вид (1), за исключением условия det(PQ) = 1. Отметим, что результат Дьёдонне был доказан над произвольным полем и требовал только сохранения вырожденности, но неопределителя. Еще один удивительный факт состоит в том, что и условие линейности не обязательно для того, чтобы отображение имело стандартный вид (1). В 2002 году Грегор Долинар и Питер Шемрл [3] рассмотрели следующее условие на отображение T:det(A+λB) = det(T(A) +λT(B)) для всех A,B∈Mn(C)и любого λ∈C.(2)Тогда, сюръективное отображение T:Mn(C)→Mn(C), удовлетворяющее условию (2), будет иметь стандартный вид (1) сdet(PQ) = 1. Этот результат, как и результат Фробениуса, тоже был обобщен на произвольное поле и усилен в 2003 году Виктором Таном и Фэй Вангом [4], а в 2019 году Константином Костарой [5]. Основным результатом работы [5] была теорема о классификации пары отображений. Более точно, если в произвольном полеFболее чемn2элементов, хотя бы одно изотображенийT1, T2:Mn(F)→Mn(F) сюръективно и выполнено условиеdet(T1(A) +T2(B)) = det(A+B)для всех A,B∈Mn(F),то найдутся такие матрицы A0∈Mn(F) и P,Q∈GLn(F), det(PQ) = 1, что T1(A) =P(A+A0)Q и T2(A) =P(A−A0)Q для всех A∈Mn(F), или T1(A) =P(A+A0)tQ и T2(A) =P(A−A0)tQ для всех A∈Mn(F). В качестве следствия из этой теоремы Костарой было получено, что в результате Долинара и Шемрла достаточно требовать выполнения условия (2) только для одного значения параметра λ. Целью данной работы было ослабить условие (2) на отображение T. Оказалось, что еслиполеFалгебраически замкнуто, то условия на определитель в результатах выше можнозаменить на менее строгие: Теорема 1. Пусть n>1, полеFалгебраически замкнуто, аT1, T2:Mn(F)→Mn(F)отображения матричной алгебры. Тогда следующие условия эквивалентны. 1.T1, T2 таковы, что для всехA,B∈Mn(F)иλ∈F∗det(A+λB) = 0 ⇐⇒ det(T1(A) +λT2(B)) = 0, 2.T1, T2таковы, что для всехA,B∈Mn(F)иλ∈F∗det(A+λB) = 0 =⇒ det(T1(A) +λT2(B)) = 0,и в образе T2 есть невырожденная матрица. 3.T1=T2 и эти отображения имеют стандартный вид (1). Литература 1. G. Frobenius, ̈Uber die Darstellung der endlichen Gruppen durch lineare Substitutionen, Sitzungsber.Deutsch. Akad. Wiss. (1897), pp. 994–1015. 2. D. J. Dieudonn ́e,Sur une g ́en ́eralisation du groupe orthogonal ́a quatre variables, Arch. Math. 1(1949), pp. 282–287. 3. G. Dolinar, P.ˇSemrl, Determinant preserving maps on matrix algebras, Linear Algebra Appl. 348(2002), pp. 189–192. 4. V. Tan, F. Wang, On determinant preserver problems, Linear Algebra Appl., 369 (2003), pp. 311-317. 5. C. Costara, Nonlinear determinant preserving maps on matrix algebras, Linear Algebra Appl., 583(2019), pp. 165–170.