ИСТИНА

Рассматривается задача Римана для системы законов сохранения $$ U_t+(F(U))_x=0,~U|_{t=0}=U_-+(U_+-U_-)\theta(x), $$ где $U(t,x)$ -- неизвестная вектор-функция, $U_-$ и $U_+$ -- заданные постоянные векторы, $\theta(x)$ -- функция Хевисайда. В случае, когда матрица $DF(U)=\left(\frac{\partial F_i}{\partial U_j}\right)$ имеет полный базис из вещественных собственных векторов, а левое и правое начальные состояния достаточно близки, известен~[1] метод построения решений. В докладе рассматривается случай, когда все собственные значения матрицы $DF(U)$ вещественны, но на некотором критическом многообразии $\Sigma$ в фазовом пространстве у матрицы $DF(U)$ возникает присоединенный вектор. К задачам такого типа относится, например, двухкомпонентная модификация системы уравнений мелкой воды: $$ \left\{\begin{array}{l} \phi_t+u_x=0,\\ u_t+(\frac12u^2+\phi)_x=0,\\ w_t+(\frac12w^2+\frac{1}{c_0}\phi)_x=0, \end{array}\right. $$ где $c_0$ -- заданная константа. \textsc{Определение.} Системы законов сохранения, для которых матрица $DF(U)$ имеет полный базис из вещественных собственных векторов, будем называть гиперболическими по Фридрихсу, а те системы законов сохранения, для которых все собственные значения матрицы $DF(U)$ вещественны -- гиперболическими по Петровскому. Будем рассматривать класс задач, гиперболических по Петровскому, но не гиперболических по Фридрихсу, для которых матрица $DF(U)$ имеет блочный вид, т.е.: $$ \frac{\partial F_j(U)}{\partial U_n}=0,~j<n,~F_n(U)=G(U_1,\dots,U_{n-1})+\Phi(U_n). $$ Тогда задача Римана для системы законов сохранения допускает расщепление и в случае близких левого и правого начальных состояний сводится к задаче для функции $U_n$: $$ \frac{\partial U_n}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(\Phi(U_n)+f(\frac{x}{t})\right)=0,~U_n|_{t=0}=U_n^{-}+(U_n^{+}-U_n^{-})\theta(x), $$ где $f(\frac{x}{t})$ -- разрывная функция, если начальным состояниям соответствует хотя бы одна ударная волна или контактный разрыв. Для построения обобщенного кусочно-гладкого решения последней задачи предлагается новый метод. \medskip \centerline{\textsl{ЛИТЕРАТУРА}} \smallskip \small \lit{1}{Лакс П.Д.} {Гиперболические дифференциальные уравнения в частных производных. Ижевск: НИЦ "РХД"\,, 2010}